$\sum_{i=0}^{k} \binom{m}{i}\binom{n}{k-i} =\binom{m+n}{k}$

Question

Estoy tratando de mostrar que la igualdad $$\sum_{i=0}^{k} \binom{m}{i}\binom{n}{k-i} =\binom{m+n}{k}$$

Es cierto. Sé que lo es ya que hay un buen argumento combinatorio para ello. Si tenemos un grupo de $m$ hombres y $n$ mujeres, y tenemos que elegir $k$ entonces sabemos que es igual a $\binom{m+n}{k}$ pero también podemos decir que elegimos $0$ hombres y $k$ mujeres, o podemos elegir $1$ hombre y $k-1$ mujeres, o podemos elegir $2$ hombres y $k-2$ mujeres, etc.

Así que, en teoría, deberían ser iguales, pero no puedo hacer las cuentas.

Se agradecería una pista en la dirección correcta

Answer 1

Considere la identidad $$(1+x)^m(1+x)^n=(1+x)^{m+n}$$ Desarrollar el LHS utilizando la identidad binomial para $(1+x)^m$ y $(1+x)^n$ y hacer lo mismo con el lado derecho utilizando la identidad binomial para $(1+x)^{m+n}$ y luego identificar los coeficientes del término de grado $k$ en cada lado. Es exactamente lo que está tratando de demostrar.