Problema de los asientos adyacentes de la mesa redonda

Question

Si hay 10 asientos en una mesa redonda y 7 personas ya están sentadas en un patrón aleatorio (edición: distribución uniforme, gracias por la corrección) ¿cuál es la probabilidad de que las dos siguientes personas que entren en la sala se sienten en asientos adyacentes?

Me siento muy desafiado al tratar de empezar a pensar en el problema. Apreciaría sinceramente cualquier pensamiento y definitivamente indicaré mi progreso a partir de entonces.

Answer 1

Asignamos los asientos al azar, colocando manteles individuales etiquetados $1,2,3,\dots, A, B, C$ al azar frente a la $10$ sillas. Los manteles individuales etiquetados $A,B,C$ indicar dónde se encuentra cualquier persona aparte de $1$ a $7$ puede sentarse. Ahora entra en la sala una pareja de enamorados que desean sentarse juntos. Encontramos la probabilidad de que puedan hacerlo sin pedir a nadie que se mueva.

Lo único que importa es la colocación de $A, B, C$ . Y como la mesa es redonda, lo único que importa es la colocación de $B$ y $C$ relativa a $A$ . Así que tenemos $9$ espacios vacíos, y tienen que elegir $2$ de ellos. Hay $\binom{9}{2}$ opciones, todas igualmente probables.

Contamos el mal elecciones. Para que una elección sea mala, debe implicar elegir $2$ asientos no adyacentes de la $7$ no al lado de $A$ . Hay $\binom{7}{2}$ formas de elegir $2$ asientos, de los cuales $6$ dan un par adyacente. Así que hay $15$ malas decisiones, fuera de la $\binom{9}{2}$ opciones. Por lo tanto, la probabilidad de que haya un par adyacente es $\frac{21}{36}$ .

Answer 2

Esto es imposible de determinar sin conocer la función de distribución de los patrones en los que el $7$ la gente ya está sentada. Asumiré una distribución uniforme ya que parece lo más natural.

Suponiendo una distribución lineal, el $7$ las personas son una pista falsa. Sólo tenemos que calcular la probabilidad de que dos asientos al azar estén uno al lado del otro. Después de elegir el primer asiento, dos de los restantes $9$ son adyacentes, por lo que la probabilidad es $2/9$ .

Answer 3

Basándome en el enunciado de la pregunta, supondré que las dos siguientes personas entrarán juntas, y que se sentarán una al lado de la otra si pueden. Si todas las configuraciones de los primeros $7$ personas son igualmente probables, entonces también lo son todas las configuraciones del resto de $3$ asientos vacíos; queremos saber qué probabilidad hay de que cualquier par de esos asientos vacíos sean adyacentes. Hay ${{10}\choose{3}}=120$ configuraciones, de las cuales el número con un par adyacente es $10\cdot 8 - 10=70$ . (O cuente el número sin pares adyacentes. Después de colocar el primer asiento, quedan siete plazas. Dos de ellos dejan cinco plazas para el tercer asiento; los otros dejan cuatro. Así que este número es $10\cdot \left(2\cdot 5 + 5\cdot 4\right)=300$ dividiendo por $3!$ deja $50$ configuraciones bloqueadas).

Así que la probabilidad deseada es $7/12$ .

Answer 4

Consideremos 10 sillas dispuestas en círculo. El número de formas de dejar tres asientos vacíos es C(10,7) = 240.

De ellos, el número de formas en que al menos 2 de los asientos vacíos son adyacentes es 10,8 = 80. (Piensa en esta situación como si hubiera 10 espacios fijos. Hay 10 formas de elegir un par de espacios adyacentes, considerando el primero y el último también como adyacentes, siendo uno de ellos el espacio izquierdo del par elegido. Hay 8 formas de elegir uno de los 8 espacios restantes)

Por lo tanto, la probabilidad requerida es 80/240 = 1/3.