Demostrando la Ley del Estadístico Inconsciente

Question

La prueba parece un poco demasiado fácil. Me pregunto si malinterpreté algo.

Deja que $Y = g(X)$. Demuestra que $$\mathbb E(Y) = \sum_x g(x)f_x(x)$$ siempre y cuando la suma converja absolutamente.

Por definición: $\mathbb E(Y) = \sum_y yf_y(y)$. Dado que $g^{-1}(y) = \{x_1, x_2,\dots\}$ $$f_y(y) = \mathbb P(Y=y) = \sum_i \mathbb P(X=x_i)$$ donde $g(x_i) = y$. Por lo tanto $$\mathbb E(Y) = \sum_y y \sum_i \mathbb P(x_i) = \sum_y \sum_i g(x_i) \mathbb P(x_i) = \sum_i g(x_i) \mathbb P(x_i) = \sum_x g(x)f_x(x)$$ Mi entendimiento es que necesitas capturar cada $x_i \in g^{-1}(y)$. Repite el proceso para cada $y$ y luego suma los términos.

Answer 1

La respuesta breve es que no, no malinterpretaste, de hecho tu prueba y razonamiento son correctos.

Dicho esto, yo utilizaría una notación de conjunto un poco más explícita para hacer la prueba aún más clara (al menos para mí), aunque no es del todo necesario. Prefiero esta notación porque es más claro respecto a sobre qué estás sumando exactamente:

Supongamos que $X$ tiene una distribución discreta en un conjunto contable $S$ y sea $Q \subseteq \mathbb{R}$ el rango de $g$. Entonces $Q$ es contable, por lo tanto $Y$ tiene una distribución discreta. Se sigue que $$E(Y) = \sum_{y \in Q} y \cdot P(Y=y) = \sum_{y \in Q} y \sum_{x \in g^{-1}(y)} f(x) = \sum_{y \in Q} \sum_{x \in g^{-1}(y)}g(x)f(x) = \sum_{x \in S} g(x)f(x)$$

Answer 2

Esto es cierto en el caso de que $\mathbb P(X\in C)=1$ para algún conjunto numerable $C\subset\mathbb R$. Más generalmente, si $X$ es una variable aleatoria con $\mathbb E[|X|]<\infty$ y $Y=g(X)$ donde $g:\mathbb R\to\mathbb R$ es una función medible tal que $\mathbb E[|g(X)|]<\infty$, tenemos $$F_Y(y):=\mathbb P(Y\leqslant y) = \mathbb P(g(X)\leqslant y)=\mathbb P(X\in g^{-1}(-\infty,y]) $$ para cada $y\in\mathbb R$. El conjunto $g^{-1}(-\infty,y]$ es medible como la preimagen de un conjunto medible bajo una función medible, por lo que podemos definir para todos los conjuntos de Borel $A$ $$\widetilde{\mathbb P}(A)=\int_A\ \mathsf d F_X(x). $$ Entonces $$\widetilde{\mathbb P}(\varnothing) = \int_\varnothing \mathsf dF_X(x)=0,\quad \widetilde{\mathbb P}(\mathbb R)=\int_{\mathbb R}\ \mathsf dF_X(x)=1$$ y para una secuencia disjunta $\{A_n\}$ de conjuntos de Borel tenemos \begin{align} \widetilde{\mathbb P}\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) &= \int_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} \mathsf d F_X(x)\\ &= \int_{\mathbb R}\sum_{n=1}^\infty \mathsf 1_{A_n}(x)\ \mathsf dF_X(x)\\&=\sum_{n=1}^\infty\int_{A_n}\ \mathsf dF_X(x)\\ &= \sum_{n=1}^\infty \widetilde{\mathbb P}(A_n), \end{align} así que $\widetilde{\mathbb P}$ es una medida de probabilidad en $\mathcal B(\mathbb R)$. Dado que $$F_Y(y)=\widetilde{\mathbb P}(g^{-1}(-\infty,y])=\int_{g^{-1}(\infty,y]}\ \mathsf dF_X(x), $$ se sigue que (por la definición de esperanzas matemáticas)

$$\mathbb E[Y] = \int_{\mathbb R}\ y\ \mathsf dF_Y(y) = \int_{\mathbb R} g(x)\mathsf d\widetilde{\mathbb P}(x) = \int_{\mathbb R} g(x)\ \mathsf dF_X(x). $$

Answer 3

Me resultó bastante confuso hasta que lo expliqué lenta y detenidamente (usando corchetes de Iverson para simplificar los límites de las sumatorias):

\begin{align} \mathbb EY &= \mathbb Eg(X)\\ &= \sum_y y \cdot \mathbb P(g(X) = y) &&\text{Definición de valor esperado}\\ &=\sum_y y\sum_x \mathbb P(X=x)[g(x) = y] &&\text{Suma de probabilidad de eventos básicos tal que $g(x) = y$}\\ &=\sum_y\sum_x y\cdot \mathbb P(X=x)[g(x)=y] &&\text{Distribuir la $y$}\\ &=\sum_x\sum_y y\cdot \mathbb P(X=x)[g(x)=y] &&\text{Asociatividad: intercambiar orden de sumatorias}\\ &=\sum_x\sum_{y = g(x)}g(x)\cdot \mathbb P(X=x) &&\text{La suma interna no es cero cuando $y = g(x)$}\\ &=\sum_x g(x)\cdot \mathbb P(X=x)\sum_{y = g(x)}1 &&\text{El producto interno depende solo de $x$; factorícelo}\\ &=\sum_x g(x)\cdot \mathbb P(X=x) &&\text{$g(x)$ toma un solo valor, por lo que la suma interna es trivialmente 1} \end{align}