Tamiz sinusoidal óptimo de Erathostenes

Question

NOTA: He simplificado este post aquí . Por favor, considere leer ese post en lugar de este. Gracias.

Dada la serie de números primos mayores que 9, podemos organizarlos en cuatro filas, según su última cifra ( $d=1,3,7$ o $9$ ), y en $k=1,2,3\ldots$ columnas correspondientes a los $k$ -múltiple de $10$ tenemos que sumar esos cuatro dígitos para obtener un número primo. Por lo tanto, cada primo se identifica con un punto $P(k,d)$ .

Ilustro esta representación en el siguiente esquema.

Por ejemplo, en la correspondencia de la columna $k=15$ ( $x$ -), encontramos dos puntos en las filas $d=1$ y $d=7$ ( $y$ -eje), porque $15\cdot 10+1=151$ y $15\cdot 10+7=157$ son primos.

Dentro de este sistema de referencia, podemos introducir la función

$$f_1(k)=5+4\cos(\frac{\pi}{3}(k-1)),$$

que pasan por algunos de los puntos que representan los primos (verde).

Del mismo modo, podemos introducir la función

$$f_2(k)=5+4\cos(\frac{\pi}{3}(k-2)),$$

que pasan (azul) a través de unos otros primos, con respecto a los relacionados con $f_1$ :

Por el contrario, la función (naranja)

$$f_3(k)=5+4\cos(\frac{\pi}{3}(k-3)),$$

pasar por algunos primos relacionados con la función verde $f_2$ (en correspondencia de $d=3$ ).

Sin embargo, mediante $6$ funciones de la forma $f_h(k)=5+4\cos(\frac{\pi}{3}(k-h))$ con $h=1,2,3,4,5,6$ somos capaces de interceptar todos los primos:

Mi pregunta surge del hecho de que existe una especie de "multiplicidad" de algunos primos, ya que son alcanzados por más de una función. Por lo tanto,

¿Podemos reducir el número de estas funciones, de manera que cada primo sea interceptado por una y sólo una función (sinusoidal)?

Gracias por sus comentarios y sugerencias. Pido disculpas en caso de ingenuidad/incorrección.

EDIT: Gracias a la respuesta de Yves, me he dado cuenta de que la pregunta podría no estar clara. Por lo tanto, por favor, ver también mi propia responder para más aclaraciones.

Answer 1

Estas sinusoides cubren todos los enteros terminados en $1,3,7$ o $9$ ( $1$ y $9$ una vez y $3$ , $7$ dos veces). Está investigando los enteros Impares no múltiplos de $5$ no los primos.

Esta trama de primos es aperiódica y la respuesta a tu pregunta es no.

Answer 2

Obsérvese, por ejemplo, que el periodo de $u_4(k)=5+2\cos \dfrac{\pi}{3}(k-4)$ es $6$ y que $u_4(4)=7$ . Esto significa que $u_4$ cubre la secuencia aritmética $t_n = 6n + 7$ . El teorema de Dirichlet establece que esta secuencia incluye un número infinito de primos. Encuentra otra onda seno o coseno que cubra la secuencia de la forma $6n+5$ y habrá incluido todos los primos excepto $2$ y $3$ .