Mostrando los automorfismos en $\mathbb{C}(x)$

Question

Dejemos que $\mathbb{C}(x)$ denotan el campo de las funciones racionales sobre $\mathbb{C}$ El campo de los números complejos.

Consideremos los seis mapeos $\phi : \mathbb{C}(x) → \mathbb{C}(x)$ definido por

$\phi_{1}:f(x) \rightarrow f(x)$

$\phi_{2}:f(x) \rightarrow f(1-x)$

$\phi_{3}:f(x) \rightarrow f(\frac{1}{x})$

$\phi_{4}:f(x) \rightarrow f(\frac{x-1}{x})$

$\phi_{5}:f(x) \rightarrow f(\frac{1}{1-x})$

$\phi_{6}:f(x) \rightarrow f(\frac{x}{x-1})$

Demuestre que estos mapeos son automorfismos.

Decidí probarlo demostrando que son biyectivas y homomórficas. La biyectividad no es un problema para ninguno de ellos, pero no sé cómo demostrar que son homomorfismos. Por favor, aconsejadme. Gracias.

Answer 1

Para demostrar que son homomorfismos Utilizamos dos resultados estándar:

(a) Teorema del mapa de evaluación para anillos de polinomios sobre un anillo arbitrario

(b) Propiedad universal para el campo de fracciones.

Procedemos de la siguiente manera:

(a) Dado un homomorfismo de anillo $\mu:R\rightarrow S$ y un elemento $s\in S$ . Existe un único homomorfismo de anillo $\bar{\mu}:R[x]\rightarrow S$ del anillo polinómico sobre $R$ a $S$ tal que:

(1) $\bar{\mu}(r)=f(r)$ para todos $r\in R$ y

(2) $\mu(x)=s$ .

Este $\bar{\mu}$ viene dada por $\bar{\mu}(r_{0}+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots+r_{n}x^{n})=\mu(r_{0})+\mu(r_{1})s+\mu(r_{2})s^{2}+\cdots+\mu(r_{n})s^{n}$ .

A continuación, en su problema, establezca $R=\mathbb{C},~S=\mathbb{C}(t),~\mu=inclusion~map$ enviando $z\in\mathbb{C}$ a $z\in\mathbb{C}(x).$

Establecer $s=x,~1-x,~\frac{1}{x},~\frac{x-1}{x},~\frac{1}{1-x},~\frac{x}{x-1}$ en su $\phi_{1},~\phi_{2},~\phi_{3},~\phi_{4},~\phi_{5},~\phi_{6}$ respectivamente. Así se obtiene el correspondiente mapa de evaluación $\mu_{i}$ , $i=1,2,3,4,5,6$ .

Esto aún no ha resuelto completamente su problema, ya que sólo obtenemos un mapa del anillo de polinomios $\phi_{i}:\mathbb{C}[x]\rightarrow \mathbb{C}(x)$ para $i=1,2,3,4,5,6$ pero no del campo de las funciones racionales.

(b) Lo siguiente que utilizamos es la propiedad universal del campo de fracciones:

Dejemos que $R$ sea un dominio integral, $F$ sea su campo de fracciones. $\psi:R\rightarrow S$ un homomorfismo de anillo inyectivo en un campo $S$ entonces existe un homomorfismo de campo $\bar{\psi}:F\rightarrow S$ ampliando $\psi$ .

Viene dado por $\bar{\psi}(\frac{r_{1}}{r_{2}})=\frac{\psi(r_{1})}{\psi(r_{2})}$ .

Sabemos que el campo de las fracciones de $\mathbb{C}[x]$ es $\mathbb{C}(x)$ .

Para continuar con su problema, establezca $R=\mathbb{C}[x],~S=\mathbb{C}(x),~\psi=\mu_{i}$ desde arriba. $\mu_{i}$ se ampliará a $\phi_{i}$ para todos $i=1,2,3,4,5,6$ como desee.

Para demostrar que son biyectivas : (a)(b) nos dice que son homomorfismos. Para demostrar que son automorfismos, repite (a)(b) para producir un homomorfismo $\phi_{1}':\mathbb{C}(x)\rightarrow \mathbb{C}(x)$ enviando $x$ a $-x-1$ . Ahora muestra $\phi_{1}$ y $\phi_{1}'$ son inversos entre sí. Un argumento similar se aplica a otros casos.

Answer 2

Para la segunda función, demostremos que $\phi_2$ es un homomorfismo. Es necesario verificar $3$ propiedades para demostrarlo.

Dejemos que $f,g \in \mathbb{C}(x)$ : $$\phi_2((f+g)(x))=(f+g)(1-x)=f(1-x)+g(1-x)=\phi_2(f)+\phi_2(g)$$ $$\phi_2((fg)(x))=(fg)(1-x)=f(1-x)g(1-x)=\phi_2(f)\phi_2(g)$$ $$\phi_2(0_{\mathbb{C}(x)}(x))=0_{\mathbb{C}(x)}(x-1)=0_{\mathbb{C}(x)}$$

Así que $\phi_2$ es un homomorfismo de campo, se puede intentar verificar lo mismo $3$ para los demás ejemplos.