Jess invitó a sus 8 amigos a una fiesta, pero sólo se presentaron 5 personas.

Question

Jess invitó a sus 8 amigos a una fiesta, pero sólo se presentaron 5 personas. Dado que dos de sus amigos, Tom y Rick, se niegan a ser vistos juntos, ¿cuántas posibilidades diferentes hay de que cinco personas se presenten a su fiesta?

Primero respondí a la pregunta por la regla de la diferencia:

Todas las formas de invitar a 8 personas y 5 de ellas aparecieron - el número de formas en que Tom y Rick se juntan = $\binom{8}{5}-\binom{6}{3}$

La respuesta correcta que me dieron es $\binom{6}{5}+2\binom{7}{4}$ que aplica la regla de la adición.

Entiendo cómo viene la respuesta correcta pero no sé dónde se equivoca mi respuesta. ¿Puede alguien dar alguna pista? Gracias.

Answer 1

La respuesta de $\binom 65 + 2 \binom 74$ debería haber sido en cambio $\binom65 + 2\binom 64$ . Hay $6$ personas otros que Tom y Rick: o bien elegimos $5$ de ellos, en $\binom 65$ maneras, o elegir $4$ de ellos más uno de Tom o Rick, en $2 \binom 64$ formas.

Una vez corregido el error, esto da el mismo resultado que su enfoque.

Answer 2

Si entiendo bien la pregunta, su respuesta es correcta, y la "respuesta correcta" es incorrecta.

En la "respuesta correcta" presumiblemente calcularon $\binom{6}{5}$ caminos sin que aparezcan Tom y Rick, y $\binom{7}{4}$ es el número de maneras en que uno de ellos podría aparecer. El error es: estamos viendo el número de formas exactamente uno de ellos aparecería. En otras palabras, si (digamos) Tom aparece, las otras cuatro personas provienen del conjunto de $6$ (en lugar de $7$ ), ya que ninguno de ellos será ni Tom ni Rick.

Así que la "respuesta correcta" corregida sería $\binom{6}{5}+2\binom{6}{4}=6+2\cdot 15=36$ que es lo mismo que tu respuesta $\binom{8}{5}-\binom{6}{3}=56-20=36$ .