Cómo demostrar esta bonita desigualdad

Question

Sea $n\ge 2$ enteros positivos, y $a{i}>0,i=1,2,\cdots,n$,muestre que$$\sum{i=1}^{n}\max({a{1},a{2},\cdots,a{i}})\min{(a{i},a{i+1},\cdots,a{n}})\le\dfrac{n}{2\sqrt{n-1}}\sum{i=1}^{n}a^2{i}$$

tal vez utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz,porque esta forma $$n\sum{i=1}^{n}a^2{i}\ge(a{1}+a{2}+\cdots+a_{n})^2$$