¿Cuál es el conjunto de $x$ alcanzar el máximo en la definición de la función de apoyo $h_B(u)=\sup_{x\in B}\langle u,x\rangle$ ?

Question

Supongamos que $B$ es un cuerpo convexo (compacto cerrado con interior no vacío), y sea $$h_B(u) = \sup_{x \in B} \langle u,x\rangle$$ sea su función de soporte. ¿Existe una buena descripción del conjunto $E :=\{x : \langle u,x\rangle = h_B(u)\}$ , es decir, el conjunto de $x$ que logran el supremum?

EDITAR: Supongamos que $B$ es la bola unitaria de una norma $\|\cdot\|$ . ¿Podemos relacionar el conjunto de igualdades $E$ por encima de la subdiferencial de de $f(x) := \|x\|$ ?

Answer 1

$\{x\in B : \langle u,x\rangle = h_B(u)\}\subset\partial B$

Answer 2

El conjunto $E$ es el hiperplano de soporte del conjunto $B$ con normalidad $u$ . En otras palabras, es el hiperplano normal a $u$ que tiene una intersección no nula con $B$ . Si $B$ es estrictamente convexo, entonces $E$ es un singleton.