Definición de los procesos de Levy mediante funciones características. Cómo demostramos la independencia

Question

Siguiendo las notas de Liggett- Continuous Time Markov Chains pg 95 se encuentra

la continuación en la página 96 define un proceso Levy

Tengo problemas en el ejercicio 3.11.

En primer lugar, observé que $\Bbb{E}[\exp\{i u \xi_{t+s}\}] =\exp\{(t+s)\psi(u)\}= \Bbb{E}[\exp\{i u \xi_{t}\}]\Bbb{E}[\exp\{i u \xi_{s}\}] $

Pero esto no es suficiente para demostrar la independencia.

Podemos construir los procesos de Levy desde otra perspectiva (véase http://page.math.tu-berlin.de/~papapan/papers/introduction.pdf ):

Obtenemos la función característica que teníamos en Liggett.

Ya que la función característica determina la distribución y la segunda construcción arroja la misma función característica que la primera. ¿Se puede decir que los incrementos del Proceso de Levy son estacionarios e independientes?

¿Cómo podemos demostrar este resultado sin tener que utilizar esta segunda construcción? Es decir, ¿hay alguna forma de demostrar la independencia y estacionariedad de los incrementos utilizando propiedades de la propia función característica?

Answer 1

Denota por $(X_t)_{t \geq 0}$ el proceso de Markov asociado a $(T_t)_{t \geq 0}$ y por $\mathcal{F}_t := \sigma(X_s; s \leq t)$ la filtración canónica. Para cualquier $s \leq t$ tenemos por la propiedad de Markov

$$\mathbb{E}(e^{i \xi (X_t-X_s)} \mid \mathcal{F}_s) = \mathbb{E}^y e^{i \xi (X_{t-s}-y)} \big|_{y=X_s}.$$

Utilizando la invarianza traslacional, es decir $$T_t f(x) = \mathbb{E}^x f(X_t) = \mathbb{E}f(x+X_t), \tag{1}$$ obtenemos

$$\mathbb{E}(e^{i \xi (X_t-X_s)} \mid \mathcal{F}_s) = \mathbb{E}e^{i \xi (X_{t-s}-y+y)} \big|_{y=X_s} = \mathbb{E}e^{i \xi X_{t-s}}.$$

Tomando la expectativa de ambos lados se muestra que $X_t-X_s$ igual en la distribución $X_{t-s}$ es decir $(X_t)_t$ tiene incrementos estacionarios. Además, para cualquier $F \in \mathcal{F}_s$ obtenemos por la propiedad de la torre

$$\mathbb{E}(e^{i \xi (X_t-X_s)} \cdot 1_F) = \mathbb{P}(F) \cdot \mathbb{E}e^{i \xi (X_t-X_s)}.$$

Esto implica que $(X_t)_{t \geq 0}$ tiene incrementos independientes.

Observaciones:

• Nótese que, para esta demostración, no necesitamos saber cómo es la función característica de $X_t$ es decir, no necesitamos la fórmula de Lévy-Khintchine. Lo único que utilizamos (además de la propiedad de Markov) es la invariancia traslacional $(1)$ del semigrupo. Esto demuestra que los procesos de Lévy son los únicos procesos de Markov con un semigrupo invariante traslacional.
• Dado que su pregunta también se refiere a la caracterización de los procesos de Lévy mediante funciones características, permítame mencionar el siguiente teorema:

Dejemos que $(X_t)_{t \geq 0}$ sea un proceso estocástico con trayectorias muestrales càdlàg adaptadas a una filtración $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ y supongamos que $X_0 = 0$ . Entonces $(X_t)_{t \geq 0}$ es un proceso de Lévy si, y sólo si, existe una función $\psi$ tal que $$\mathbb{E} \left( e^{i \xi (X_t-X_s)} \mid \mathcal{F}_s \right) = e^{-(t-s) \psi(\xi)}$$ para todos $s \leq t$ y $\xi \in \mathbb{R}^d$ .