Sé que podemos encontrar el campo eléctrico usando el campo eléctrico $$E=\frac{KQ}{R^2}$$ tomar un pequeño elemento $dq$ y encontrar el campo eléctrico integrando el valor de $dE$ sobre la circunferencia que será $$E=\frac{kxQ}{\sqrt {(a^2+x^2)^3}}$$ donde $a$ es el radio del anillo y $x$ es la distancia del punto $p$ en el eje del anillo. ¿Podemos encontrar lo mismo utilizando la ley de Gauss?
Respuestas
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Bhavya Sharma
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Escribe $\;G^* = \{g: g = x^2\mid x \in \mathbb R^*\}$
Para cada $g\in G^*$ Hay dos $x_i \in \mathbb R^*$ que resuelven $g = x_i^2,\;$ exactamente uno del que también se encuentra en $G^*$ .
¿Cómo se relaciona esto con el número de cosets de $\,G^* \in \mathbb R^*$ recordando que los cosets de $\,G^* \leq \mathbb R^*\,$ necesariamente la partición $\,\mathbb R^*\,?\;$ Entonces recuerda $$\large\left[\mathbb R^*: \,G^*\right] = \left| \frac{\mathbb R^*}{G^*}\right|$$
jordenysp
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בס''ד
Introducción y antecedentes
Preámbulo
Nota: Simplemente copié el texto y lo edité de la versión de la respuesta en mi sitio web que tiene imágenes completas. Sin imágenes, el texto es un poco aburrido, así que supongo que lo mejor es ver la versión en http://newyorkbusinessreview.com/wordpress/technology/stephen-elliott/electric-field-at-a-point-on-axis-of-uniformly-charged-ring-using-gauss-law/ después de leer el post de resumen aquí.
Sólo resumo cómo llego a la solución completa a continuación y te remito a la página web de arriba para una explicación más detallada con imágenes completas.
Antecedentes
Este problema lo resolví antes con el problema similar de encontrar los campos de un elemento de corriente que está en un anillo, como un Modelo de Bohr para el Helio (que coincidía con el experimental dentro del 20% en ese momento). Hay una sencilla transformación relativista de las covariantes de los campos Eléctrico y Magnético llamada Transformación de Lorenz que permite pasar de la solución de un anillo de corriente en movimiento al problema de la solución de un anillo de carga inmóvil; esto es así ya que un anillo en rotación equivale a un viajero que va a la derecha o a la izquierda (dependiendo de que la rotación del anillo sea el sentido de la corriente por supuesto y de la rotación, llamado Efecto de Precesión de Thomas).
Paso 1: Desglosar el problema para resolver un problema más sencillo
El problema más simple del campo en el plano x-y para un anillo centrado en (0,0,0) como el que se muestra aquí:
El observador (mostrado como un ojo en el diagrama) puede mirar el anillo descrito aproximadamente por elementos de carga (cada uno de ellos con carga dada por $TotalRingCharge / NumberOfSegments $ centrado en cada división del anillo, y los valores del anillo se determinan sólo en los límites entre las cargas (mostrados como los puntos finales de las líneas negras en la imagen). A medida que el número de divisiones aumenta hasta ser muy grande (infinito), el campo resultante se asienta en un valor con una variación cada vez menor, acercándose finalmente, según la metodología del cálculo, a la solución exacta con un error insignificante.
Utiliza la fórmula del artículo de Wikipeida del artículo sobre "Electrostática"
$ E ( r ) = ∑ i = 1 N E i ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 N q i r − r i | r − r i | 3 {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {E} _{i}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}} $
Paso 2: Compruebe la respuesta con problemas más sencillos con soluciones conocidas
Comprueba la respuesta utilizando la solución de los problemas de subconjuntos más sencillos como guía para asegurarte de que la solución más amplia es la correcta.
Paso 2.1: Compruebe la respuesta completa frente a la solución en el plano X-Y
Desglosemos el problema completo para resolver primero un problema más sencillo de cuál es el campo en el plano x-y para el anillo centrado en (0,0,0) y tendido en este plano. (Esto es una buena comprobación de la solución del problema de encontrar el campo para valores arbitrarios de rho y z). En el plano x-y, z=0. Por lo tanto, el campo mismo debe apuntar hacia afuera o hacia adentro, sólo en la coordenada rho (sólo en este caso límite), de nuevo debido a la simetría del problema (dependiendo de si la carga es: 1) positiva - apuntando hacia adentro o 2) negativa - apuntando hacia afuera).
Llamamos a la carga total del anillo "Qring". El anillo puede dividirse en segmentos, con segmentos iguales a la derecha y a la izquierda del punto donde se detecta el campo. Es decir, el anillo se divide en la imagen de la izquierda y la contribución de la imagen especular de la derecha, como en la imagen. Ahora el segmento de la derecha y sus correspondientes contribuciones de campo del segmento espejo se cancelan, excepto en la dirección "rho", o en el problema completo en las direcciones "rho" y "z".
En el límite en que el número de divisiones del anillo es muy grande (idealmente infinito), se tiene una aproximación numérica a la solución. Algo que hay que notar es que en el anillo, parece que el campo es infinito, pero esto no es así. Mientras el recuento se haga por pares según el diagrama mostrado arriba, no hay problema con estos infinitos, ya que siempre hay una distancia finita entre el punto donde se está midiendo el campo y los puntos que aportan carga al campo (el elemento de carga izquierdo y su derecho).
Paso 2.1: Compruebe la respuesta completa frente a la solución en $(x=0,y=0,z=0)$ Plano
En (0,0,0) el campo debe ser idéntico a cero debido a la simetría de nuevo. Es una comprobación importante para cualquier "solución". Debido a la técnica de segmentación en espejo ilustrada anteriormente, se puede ver para el caso (0,0,0) que los contribuyentes de la segmentación en espejo "cancelan exactamente" dando correctamente un campo eléctrico cero en la coordenada (0,0,0). El número de segmentos como regla general se puede utilizar para determinar el número de términos útiles en la expansión de Taylor de la solución.
Crear un modelo preciso de la respuesta utilizando una expansión de Taylor en $z$ y $\rho$ Coordenadas del observador
Otra cosa que hay que notar es que el campo es siempre menor que un punto del anillo. Por lo tanto, se puede hacer una expansión de Taylor de la intensidad de campo tanto en el $\rho$ y "z", normalizados por la intensidad de campo en el anillo (obviamente en la dirección "rho" ya que el anillo se encuentra en el plano x-y). Digamos que el radio del anillo es "Rring". Hay que considerar dos series para cada una de ellas $z$ o $\rho" variable, one "inside the ring" where either $ zRing $ or $\rho > Rring$.
Esta serie converge muy rápidamente; recuerdo que unos 20 términos de la expansión de Taylor son una excelente y muy representativa y útil aproximación a la respuesta, con un error despreciable.
Utilizar un programa informático (como Eigenmath 1.3.7) para realizar la expansión de Taylor en $z$ y $rho$ Coordenadas del observador más fáciles de encontrar
Esto sería muy difícil si no fuera porque "EigenMath versión 1.3.7" incluye una función llamada Taylor, en el ejemplo $taylor(f(x),x,20$ " representando $x$ a 20 términos. Realmente, como cada término subsiguiente en la expansión de Taylor representa el error de la serie convergente, la respuesta a cualquier límite de error se puede encontrar de esta manera.
Ampliación de la solución a un anillo giratorio de carga y comprobación de la respuesta frente a la energía de ionización experimental del helio
Una aplicación interesante de esto es cuando el anillo tiene corriente. Un anillo con corriente es simplemente un sistema de coordenadas de referencia diferente (transformación relativista de los campos E y B). ¡Por ejemplo, al modelar el Helio realmente al modo de Bohr, considerando cada órbita de electrones como un anillo de carga giratorio (un anillo con corriente), se obtiene una buena respuesta para la ionización del Helio con un 20% de lo medido experimentalmente!
Por favor, comente si hay preguntas adicionales sobre la solución. ¡Aprecio también los votos positivos para que pueda volver a poner las ecuaciones en la respuesta aquí y no sólo en el sitio web de referencia!
Discusión ampliada sobre las 20 soluciones de Taylor (con un error mínimo)
Así que ahora que tenemos las herramientas adecuadas (imágenes y demás) vamos a resolver el problema de hasta 20 términos de Taylor.
Dado que se utilizan 20 términos de Taylor, como regla general podemos dividir cada mitad del anillo actual en 20 (centrados en (0,0,0) tanto en coordenadas cilíndricas como rectangulares y colocados en el plano de coordenadas x-y con z=0 en ambos sistemas de coordenadas), siguiendo esta figura aquí para construir pares de campos:
Se puede considerar que el observador siempre está mirando directamente al anillo debido a la simetría del problema. Así que usando la construcción del diagrama, colocamos el eje x en la dirección del observador, por lo que el observador tiene coordenadas cartesianas (x', 0, z') = (rho', 0, z') con y general y arbitrariamente puesta a cero por la construcción del problema. Esto no afecta a la respuesta final que sólo depende de "rho'" y "z'" en coordenadas cilíndricas.
A continuación, tenemos que encontrar los centros de los elementos reflejados para cada porción del anillo. En la figura anterior, los centros de cada elemento de carga son números con índices "m" positivos a la derecha y la carga reflejada con el correspondiente índice negativo "-m" a la izquierda. Si la carga del anillo es "Qring", en este ejemplo, cada elemento de segmento tiene una carga de "Qring/4" o, más generalmente, "Qring/(2*m_max)", ya que los segmentos de carga están en pares.
Ahora cada segmento de carga contribuye con una componente de campo en las componentes "rho", "phi" y "z". Sin embargo, la contribución de los pares de segmentos de carga es sólo en las direcciones "rho" y "z" ya que las componentes "phi" interfieren destructivamente mientras que las componentes "rho" y "z" interfieren constructivamente resultando en el doble del campo contribuido orientado sólo en esas direcciones "rho" y "z".
Entonces, ¿qué queda para encontrar la solución? Ahora tenemos que calcular las distancias de cada valor de elemento positivo de "m" en los puntos del círculo. (Como la distancia para el m negativo es la misma no es necesario recalcularla). Y necesitamos averiguar cuál es la componente del vector unitario en las direcciones "rho" y "z" (de nuevo lo mismo para el segmento "m" y el segmento "-m" que interfieren constructivamente).
La coordenada de cada elemento de carga con ángulo "phi" -el ángulo en radianes desde el eje "rho" para un elemento "m" que comienza en la cuenta 1- se deduce del diagrama como sigue (phi =((m-1/2)/máx)*pi):
Sea "Rring" el radio del anillo. En realidad es un parámetro crítico porque para nuestra expansión de Taylor, escalaremos por esto ya que el campo es máximo en el anillo y por lo tanto la serie de Taylor converge ya sea yendo dentro o fuera del anillo ya que cada elemento de Taylor normalizado es menor que uno.
Para calcular la distancia ahora para un observador en el lugar del sistema de coordenadas cilíndricas " $\rho'$ " y " $z'$ "hay tres componentes vectoriales de la distancia, uno en el $\rho$ ", una en la dirección " $\phi$ ", y uno en la dirección " $z$ ", que ahora calculamos, elevamos al cuadrado, sumamos y enraizamos adecuadamente, y damos la distancia resultante.
The vector "z" component is pretty easy so we start there. It is simply "z'" since the ring lies in the x-y cartesian plane!
The next-easiest is the vector "phi" component. The observer is by construction at cartesian "y=0" and the ring radius is "Rring" again by construction. That means that this vector distance coordinate is simply "Rring*sin(PhiM)" where "PhiM" where "PhiM" is "Phi" for a given (positive) "m" index.
The last vector component in the "rho" direction is now easy, using the examples above. It is "rho' - Rring*cos(PhiM)"
For "pretty" formulas, just plug the text into EigenMath Version 1.3.7 using the link at the top to install it for windows.Finalmente, tenemos la distancia y la distancia normalizada (por Rring) como:
$$DistanceM = (Zprime^2 + (Rring*sin(PhiM))^2 + (RhoPrime- Rring*cos(PhiM))^2)^(1/2) $$
$$DistanceMNormalized = DistanceM/Rring$$
For observations "outside" of the ring, "$DistanceMNormalized < 1$" and the Taylor expansion rapidly converges that is based on $DistanceMNormalized$.
$InverseDistanceMNormalized = 1/DistanceMNormalized$
For observations "inside" of the ring, "$InverseDistanceMNormalized < 1$" and the Taylor expansion rapidly converges that is based on $InverseDistanceMNormalized$.A continuación, encuentre la porción del vector unitario del campo E en el $RhoPrime$ y $ZPrime$ y se introduce en la fórmula de arriba para el campo E como una suma de elementos, y la "solución" está completa, aparte de las aproximaciones de Taylor.
La componente del campo E del vector unitario que está en la dirección del observador es bastante fácil de encontrar a partir de nuestras formulaciones anteriores. Se trata simplemente de la componente " $difference rho$ " y " $z$ ", escalados de la siguiente manera:
$EunitRho=((RhoPrime- Rring*cos(PhiM))^2)^(1/2)/DistanceMNormalized$
$EunitZ = (zPrime^2)^(1/2)/DistanceMNormalized$
Y así, sumando todos los términos y multiplicando por las diferentes coordenadas anteriores, ¡la solución está completa!
$ E ( r ) = ∑ i = 1 N E i ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 N q i r − r i | r − r i | 3 {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {E} _{i}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}} $
Para los anillos en rotación, basta con aplicar la transformación de Lorenz para el movimiento del observador con respecto al anillo inmóvil.
Si tiene alguna pregunta, envíeme un correo electrónico a stephenelliott@newyorkbusinessreview.com.
