Se ahonda en la Inversa de la Imagen Gavilla

Question

Deje $f: X \rightarrow Y$ ser un mapa continuo de espacios topológicos y deje $G$ ser una gavilla por primicia de los conjuntos en $Y$. Estoy tratando de entender la definición de la inversa de la imagen gavilla $f^{-1}G$$X$. Esta es la gavilla asociados a la preshief $U \rightarrow \varinjlim_{V \supseteq f(U)} G(V)$ donde $V$ está abierto en $Y$ $U$ abierta en $X$. En particular, estoy tratando de entender la cantidad de $\varinjlim_{V \supseteq f(U)} G(V)$. Como yo lo entiendo, esto es un colimit en la categoría de conjuntos. He leído la categoría de la teoría de la definición de la colimit el uso de co-conos, pero estoy teniendo un duro momento de hacer una conexión y/o interpretación. También, es este un filtrado colimit o simplemente un colimit?

Answer 1

1) en Primer lugar tiene la propiedad crucial $(f^{-1}G)_x=G_{f(x)}$ todos los $x\in X$.
En particular, la aplicación de esta a la inclusión $i:\lbrace x\rbrace \hookrightarrow X$, de un momento, el interesante igualdad de $(i^{-1}G)_x=G_x$, lo que muestra que la adopción de un inversa de la imagen es una generalización de tomar el tallo de una gavilla en un punto.

2) Esta es una situación donde la pre-Grothendieck interpretación de una gavilla como un étalé espacio es bastante esclarecedor:
Si $Et(G)\to Y$ es el étalé espacio correspondiente a $G$, tomar el producto de fibra de $Z\stackrel {def}{=}X\times _Y Et(G)\to X$ en la categoría de espacios topológicos.
Este es un étalé espacio de más de $X$ y la correspondiente gavilla de las secciones es la gavilla en $X$ que está buscando: $Sh_Z=f^{-1}G$.

3) tenga en cuenta que en la categoría de esquemas (o en cualquier otro geométricas categoría como la de analítica espacios) la importante pull-back para poleas de $\mathcal O_Y$-los módulos a través de $Y$ no es el topológica que estamos discutiendo, pero el algebraico, es decir, $$f^{*}G =f^{-1}G \otimes _{f^{-1}(\mathcal O_Y)} \mathcal O_X$$
El más simple de contraste ejemplo es el de un esquema de $X$ sobre un campo $k$, y la inclusión de un punto racional $i:\lbrace x\rbrace \hookrightarrow X$. Hay una enorme diferencia entre ambos pull-backs de $\mathcal O_X$:
$$(i^{-1}\mathcal O_X)_x = \mathcal O_{X,x}\neq (i^{*}\mathcal O_X)_x =k$$