Determinante de $3 \times 3$ matriz de bloques

Question

Cuando busqué algunas propiedades del determinante de las matrices en bloque, la mayoría de los resultados consideraban un $2 \times 2$ caso. Sea $A, B, C$ sea $n \times n$ matrices y $I$ sea una matriz de identidad de dimensión $n$ y que $X$ definirse de la siguiente manera

$$\begin{pmatrix} A & 0 & 0 \\ B & I & 0 \\ C & D & I \end{pmatrix}$$

Supongamos que $A$ es invertible. Entonces, ¿qué es $\det (X)$ ?

Answer 1

Su matriz $M$ es un bloque triangular inferior. Para este tipo de matrices, el determinante viene dado por el producto de los determinantes de los bloques de la diagonal, por lo que $\det M = \det A \det I_n \det I_n = \det A$ . Esto se puede demostrar directamente utilizando la definición del determinante como una suma de productos sobre permutaciones. Las únicas permutaciones que dan lugar a un sumando distinto de cero deben enviar $\{ 1, \dots, n \}$ a $\{ 1, \dots, n \}$ y luego $\{ n + 1, \dots, 2n \}$ a $ \{ n + 1, \dots, 2n \}$ y de manera similar $\{ 2n + 1, \dots, 3n\}$ a $\{ 2n + 1, \dots, 3n \}$ . Ampliando la definición, verás que esto demuestra que $\det M = \det A \det I_n \det I_n = \det A$ .

Answer 2

Sugerencia : Sólo tienes que abrir el determinante utilizando la primera fila. Verás que $B,C$ y $D$ no contribuyen a $\det X$ .

Answer 3

Sugerencia: expande el determinante a través de la última columna y entonces te sale un $2 \times 2$ matriz de bloques. Obsérvese que en la última columna todas las entradas son cero, excepto la última, que es $1$ .

pero en la primera fila tiene muchas entradas procedentes de $A$