Ejemplo de una intersección no suave

Question

¿Cuál es un ejemplo de intersección no lisa (pullback) de dos esquemas proyectivos lisos sobre un campo?

Supongo que existen estos dos esquemas, pero esto va totalmente en contra de mi intuición. En mi (defectuosa) imagen geométrica, una singularidad de la intersección estaría también en las grandes variedades.

Answer 1

Si crees en los esquemas, toma cualquier curva suave $C\subset \mathbb P^2$ en el plano proyectivo y la intersección con su línea tangente $T_P \subset \mathbb P^2$ en un punto arbitrario $P\in C$ .
La intersección $T_P\cap C$ no será suave en $P$ ya que allí no se reduce.

Si sólo quiere oír hablar de las buenas variedades antiguas, considere la superficie lisa $S\subset \mathbb P^3$ definido por la ecuación $ZT-XY=0$ y lo intersecamos con el plano (obviamente liso) $P\subset \mathbb P^3$ dada por la ecuación $Z=0$ .
La intersección $I=P\cap S $ es la variedad dada por las dos ecuaciones $Z=0$ y $XY=0$ .
Consiste en la unión de las dos líneas $Z=X=0$ y $Z=Y=0$ .
Esta variedad de intersección $I$ es singular en la intersección $[0:0:0:1]$ de las dos líneas.