Valor esperado $\frac{1}{x+1}$ de la distribución de Poisson

Question

Si la variable aleatoria $X$ tiene una distribución de Poisson con media $\lambda$ se obtiene una expresión para el valor esperado $\frac{1}{X+1}$

Mi intento, \begin {align*} \mathbb {E} \left [ \frac {1}{X+1} \right ] &= \sum_ {x=0}^{ \infty } \frac {1}{x+1}P(X=x) \\ & = \sum_ {x=0}^{ \infty } \frac {1}{x+1} \frac {e^{- \lambda } \lambda ^x}{x!}. \end {align*}

Ya no sé cómo proceder así que fui a ver la solución dada, la respuesta es $\frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}$ .

Answer 1

Nota

$$\frac{1}{x+1}\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}=\lambda^{-1}e^{-\lambda}\color{red}{\frac{\lambda^{x+1}}{(x+1)!}}$$

¿Reconoce los términos en rojo?