Bien, la pregunta es encontrar los tres últimos dígitos de $2013^{2012}$ . Después de algunas reducciones utilizando el Teorema de Euler obtuve $13^{12}$ (mod 1000). Intenté dividirlo en 8 y 125 y luego usar el CRT , pero esto no ayudó (o tal vez lo hice mal) . ¿Cuál es la forma más corta de obtener la respuesta? (por supuesto sin usar números muy grandes)
Respuestas
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Farkhod Gaziev
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6
$$13^{12}=(13^2)^6=(170-1)^6\equiv1-\binom61170+\binom62(170)^2\pmod{1000}$$
$$\implies13^{12}\equiv1-6\cdot170+\frac{6\cdot5}2\cdot289\cdot100\pmod{1000}$$
Ahora $\displaystyle \frac{6\cdot5}2\cdot 289=15\cdot289\equiv5\pmod{10}$
Utilizando $\displaystyle a\equiv b\pmod m\implies a\cdot c\equiv b\cdot c\pmod{m\cdot c},$ (donde $a,b,c,m$ son números enteros) $\displaystyle\implies\frac{6\cdot5}2\cdot289\cdot100\equiv5\cdot100\pmod{10\cdot100} $
$\displaystyle\implies13^{12}\equiv1-1020+500\equiv501-20\pmod{1000}$
Este método se puede aplicar para cualquier número coprimo con $10$ (por lo tanto con $10^k$ )
como sabemos, cualquier número coprimo con $10$ (por lo tanto con $10^k$ ) debe terminar con $1,3,7,9$
y $7^2=49=5\cdot10-1$ y $3^2=9=10-1$
Farkhod Gaziev
Puntos
6
SUGERENCIA:
$$13^{12}=(10+3)^{12}=3^{12}+12\cdot3^{11}10+\binom{12}2\cdot3^{10}10^2\pmod{1000}$$
Ahora, $\displaystyle3^{10}=9^5\equiv(-1)^5\pmod{10}\equiv-1$
$\displaystyle\implies\binom{12}2\cdot3^{10}10^2\equiv\binom{12}2\cdot(-1)10^2\pmod{100}$
y $\displaystyle3^{11}=3\cdot9^5=3(10-1)^5\equiv3(-1+\binom51\cdot10^1)\pmod{100}$
Finalmente, $3^{12}=(3^2)^6=9^6=(10-1)^6=1-\binom6110+\binom6210^2\pmod{1000}$
Mike
Puntos
1113
Incluso sin los trucos del binomio, esto no está tan mal; sólo recuerda producir resultados intermedios. $13^2=169$ y $13^3$ $=13\cdot 169$ $= 1690+507$ $\equiv 197$ son más o menos inmediatos, y luego sólo hay que elevar el cuadrado dos veces. En este punto se puede hacer "a mano" o ir con $197=200-3$ para conseguir $13^6$ $\equiv 197^2$ $= 200^2-2\cdot3\cdot200+9$ $\equiv 9-200$ $\equiv 809$ y $13^{12}$ $\equiv 809^2$ $= (800+9)^2$ $= 800^2+2\cdot 9\cdot 800 + 9^2$ $\equiv 481$ .
${\rm mod}\ \ \ \ \ 8\!:\ 13^{12}\equiv (-3)^{12}\!\equiv 9^6\equiv 1^6\equiv \color{#c00}1\ \ \ \ $ [Toda la aritmética de esta respuesta se puede hacer mentalmente ] ${\rm mod}\ 125\!:\ 13^{12}\!\equiv 44^6 \equiv 4^6 11^6 \equiv 2^{12} (-4)^3\equiv -2^{18}\overset{\large 2^7\,\equiv\ \color{#c0f}3\ }\equiv\!\! -\color{#c0f}3^2(2^4)\equiv\, \color{#0a0}{-19}$
Por Fácil CRT: ${\ \ 13^{12} \equiv\, \color{#0a0}{{-}19} + 125\underbrace{\left[\dfrac{\color{#c00}1+\color{#0a0}{19}}{125}\ {\rm mod}\ 8\right]}_{\large \equiv\, 20/5\,\equiv\, 4\qquad}\equiv\, {-}19+125(4) \equiv 481\pmod{1000}}$
Nota: $\ $ Yo elegiría el método del teorema del binomio si lo estuviera evaluando, pero vale la pena recalcar que la TRC sólo supone un poco más de trabajo (y una buena práctica de la TRC). Con un poco de práctica se pueden abordar estos pequeños problemas de CRT con sólo la aritmética mental de los números pequeños (como hice arriba).
