Pregunta sobre la fórmula de suma de los cocientes de Fermat

Question

Según Wolfram ( https://mathworld.wolfram.com/FermatQuotient.html ),

$\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{p-1}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{n}$

Me cuesta entender cómo se obtiene la suma porque la RHS converge a $\frac{1}{2}\ln2$ como $p\rightarrow\infty$ . Sin embargo, los cocientes de Fermat divergen. Agradecería cualquier ayuda al respecto.

Answer 1

$\newcommand{\d}[1]{\large{\underline{\mathsf{#1}}}}$ $\color{blue}{\d{The\ meaning\ of\ \frac 1a \pmod{m}}}$

La idea detrás de la notación $\frac 1a$ modulo $m$ proviene de la teoría de los anillos (por favor, utilice las páginas de Wikipedia sobre grupos y anillos para entrar en contacto con estos conceptos). En efecto, los enteros $0,...,m-1$ forman un grupo en funcionamiento $a + b = c$ donde $c$ es el resto cuando $a+b$ (la suma habitual) se divide por $m$ y bajo el operador de multiplicación $a \cdot b = c$ donde $c$ es el resto cuando $a\cdot b$ (el producto habitual) se divide por $m$ .

Ahora, $1$ se llama identidad multiplicativa , porque $a \cdot 1 =a$ para cualquier $a$ . En correspondencia con el razonamiento de la teoría de grupos, llamamos a un elemento $a \in \{0,...,m-1\}$ invertible si existe un $b$ tal que $a \cdot b = 1$ . Es decir, si hay un número entero $b \in \{0,1,...,m-1\}$ tal que $a \cdot b$ deja un remanente de $1$ cuando se divide por $m$ .

Se puede demostrar que la inversa, si existe, es única. La notación de la inversa de $a$ si existe, es $\frac 1a$ o $a^{-1}$ .

Ahora, hay un resultado fácil para cuando $a$ es invertible en $\{0,...,m-1\}$ (lo llamamos como invertibilidad modulo $m$ ).

$a$ es invertible si y sólo si $\gcd(a,m) = 1$ .

Así que $\frac 1a$ es un elemento válido de $\{0,1,...,m-1\}$ siempre que $a$ es coprima de $m$ .

$\textbf{A SMALL CAVEAT}$ : La cantidad $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ es un división real por $p$ . Se puede ver que $\gcd(p,p) = p \neq 1$ así que $\frac 1p$ no tiene sentido modulo $p$ . Esto es un verdadero división por $p$ . Lo mostraré en mi ejemplo a continuación. Es un abuso de la notación de $\frac{\cdot}{\cdot}$ para representar tanto la división real como la división en módulo, y debemos tener cuidado con esto en general. Se puede preguntar si $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ será siempre un número entero: esto es cierto por el pequeño teorema de Fermat.

$\color{gray}{\d{Examples}}$

• Dejemos que $m=5$ y $a=2$ . Entonces $\gcd(2,5) = 1$ así que $\frac 12$ es un elemento bien definido módulo $5$ . ¿Podemos encontrarlo? Experimentando, $2 \cdot 3 = 6$ deja restos $1$ al dividir por $5$ Así que $3 = \frac 12$ modulo $5$ . En particular, cuando se trata del anillo de enteros módulo $5$ y vemos $\frac 12$ en algún lugar, en realidad significa $3$ .

• Dejemos que $m =15$ y $a = 8$ . Entonces $\gcd(8,15) = 1$ y puedes ver que $\frac 18 = 2$ .

• Dejemos que $m = 16$ y $a=10$ . Entonces $\gcd(10,16) \neq 1$ así que $\frac 1{10}$ no se puede definir ni hablar de módulo $16$ .

• Dejemos que $m$ sea un primo, y $a \neq 0$ . Entonces $\gcd(a,m) = 1$ así que $\frac 1a$ siempre existe aunque sólo se puede encontrar mediante la experimentación o algoritmos como la inversión del algoritmo euclidiano.

$\color{red}{\d{On\ the\ identity\ in \ the\ question}}$

Así pues, ¿qué significa finalmente la identidad? Bueno, el RHS es no es un número real sino más bien un módulo de enteros $p$ . La única manera de ilustrar esto es calcular realmente ambos lados para un determinado primo $p$ . Calcularemos cada término por separado. Vamos con $p=5$ .

• LHS : $\frac{2^{p-1}-1}{p} = \frac{2^4-1}{5} = 3$ , un división real, recuerde la advertencia .

• RHS : Tenemos $\frac 12 = 3$ . Entonces, para cada uno de $n=1$ a $4$ calculamos $\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ . Para $n=1$ , $\frac {(-1)^0}{1} = \frac 11 = 1$ . Entonces para $n=2$ tenemos $\frac{(-1)^1}{2} = -\frac{1}{2}= -3 = 2$ . Para $n=3$ tenemos $\frac{(-1)^2}{3} = \frac 13 = 2$ . Para $n=4$ tenemos $\frac{(-1)^3}{4} = \frac {-1}4 = -4 = 1$ (ya que $4\times 4 = 16 = 1$ ). Así que la suma finalmente es $3(1+2+2+1) = 3 \cdot 6 = 18 =3$ .

Por lo tanto, tanto el LHS como el RHS son iguales a $3$ modulo $5$ . Así es como se leería esa identidad.

$\color{fuchsia}{\d{Historical\ significance}}$

¿A qué se debe esta identidad? Bueno, viene del último teorema de Fermat. Recordemos el último teorema de Fermat: para cada $n \geq 3$ no hay números enteros positivos $x,y,z$ con $x^n+y^n=z^n$ .

Es fácil demostrar que el último teorema de Fermat es verdadero si y sólo si es verdadero para $n$ tomando sólo valores primos, $n>2$ . Así que podemos estudiar cada primo. Al estudiar cada primo, surge el cociente de Fermat, de una manera que no puedo explicar pero que es ilustrativa.

Wieferich demostró en 1909 que si la FLT se contradecía por $n=p$ entonces es necesario que $\frac{2^{p-1}-1}p = 0 \pmod{p}$ . Es decir, debemos tener que el cociente de Fermat para $p$ con base $2$ debe ser igual a $0$ . Esto generó interés en la identidad dada porque naturalmente proporcionó una manera diferente de calcular el cociente de Fermat.

Sólo dos primos (tales primos con cociente de Fermat con base $2$ igual a $0$ ¡se llaman primos de Wieferich) son conocidos! Son $1093$ y $3511$ .

El resultado no se mantiene sólo para la base $2$ : posteriormente se amplió a todas las bases primarias hasta $89$ . Es decir: si hay un contraejemplo de FLT para $n=p$ entonces el cociente de Fermat de $p$ con base $k$ debe ser cero para todos los primos $k$ de $2$ a $89$ ¡! Si pudiéramos demostrar que no existe tal primo, habríamos terminado, pero esto ha sido esquivo.

$\color{green}{\d{Proof\ of\ the\ identity}}$

La prueba de la identidad no es fácil, porque implica algunas manipulaciones que no podrá conseguir a primera vista. Así que no la incluiré aquí. En su lugar, te pediré que visites el post aquí que pasa por la prueba de una identidad muy similar. Usted puede intentar utilizar la prueba allí para demostrar esto.

La idea principal es que te sientas cómodo con la aritmética modulo $p$ . Esto es necesario para poder entender la identidad anterior.