Número de bobinado en una región simplemente conectada

Question

Dejemos que $\Omega$ sea una región simplemente conectada en $\mathbb{C}$ y $\gamma$ una trayectoria cerrada y diferenciable a trozos.

¿Existe una explicación intuitiva de por qué el número de bobinado $\mathrm{ind}_\gamma(\alpha)=0$ , $\alpha \in \mathbb{C}\backslash \Omega$ ¿en regiones simplemente conectadas?

Answer 1

Supongo que se refiere a simplemente conectado en lugar de "simple", y también que quiere decir $\mathbb C\setminus \Omega$ y no al revés.

En ese caso es porque por definición de "simplemente conectada" cualquier trayectoria cerrada en una región simplemente conectada es homotópica a un punto. El número de enrollamiento es una función continua de la curva, y como para un cerrado es siempre un múltiplo integral de $2\pi$ el número de bobinado no puede cambiar durante una homotopía, siempre que exista en cada paso intermedio -- como aquí cuando $\alpha\notin \Omega$ .

Dado que un punto (es decir, una curva constante) tiene obviamente el número de enrollamiento 0, también lo tiene cualquier curva cerrada que sea homotópica a él.