Motivación: Si $a$ y $b \ne 0$ son números reales, entonces $a = b \cdot (a / b)$ .
Pregunta: Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y $M \subset X$ un subespacio cerrado. Entonces, el espacio cociente $X / M$ es también un espacio de Banach. ¿Tenemos $$ X = M \times (X / M) $$ ¿en algún sentido?
(Por ejemplo, " $\times$ " podría denotar el producto espacio de Banach y " $=$ " podría significar "isomorfo").
Este subespacio $M$ se llama "complementado"
Si $M$ es un subespacio cerrado de $X$ y existe otro subespacio cerrado $N$ tal que $X = M \oplus N$ entonces $N$ es isomorfo a $X/M$ . [Aquí me refiero a que el mapa $M \oplus N \to X$ definido por $(m,n) \mapsto m+n$ es un homeomorfismo de $M \oplus N$ en $X$ . La topología en $M \oplus N$ es la topología del producto cartesiano].
No todos los subespacios de un espacio de Banach son complementados, pero muchos de los más comunes lo son. Por supuesto, en el espacio de Hilbert, todos los subespacios se complementan. También: los subespacios de dimensión finita se complementan.
Un ejemplo de subespacio no complementado: $c_0 \subset l^\infty$ no se compone.
Más difícil de demostrar, pero cierto: si $X$ es un espacio de Banach y cada subespacio cerrado es complementado, entonces $X$ es isomorfo a un espacio de Hilbert.
Un subespacio cerrado $M$ que satisface $X\approx M\times N$ para algún otro subespacio cerrado $N$ se dice que es complementado .
Es un hecho que algunos espacios de Banach tienen subespacios cerrados que no se complementan. Véase ¿Ejemplo de un subespacio cerrado de un espacio de Banach que no está complementado?
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