¿Qué es un "mapa de identificación"?

Question

De los "Paquetes de fibra" de Husemöller (ligeramente reformulados):

Propuesta: Considere un paquete $\xi: E \to B$ y un mapeo $f: B' \to B$ . Entonces, para cualquier $s \in \Gamma(\xi)$ hay un $\sigma: B' \to E \times_B B'$ definido por $\sigma(b') = (b', sf(b'))$ que es una sección de $f^*(\xi)$ y $f_\xi \sigma = s f$ . Si $f$ es un mapa de identificación y si $\sigma \in \Gamma(f^*(\xi))$ es tal que $f_\xi \sigma$ es constante en $f^{-1}(b)$ para todos $b \in B$ , entonces hay un $s \in \Gamma(\xi)$ tal que $sf = f_\xi \sigma$ .

Prueba: [...] Para la segunda afirmación, tenemos una factorización de $f_\xi \sigma$ por $f$ , dando un mapa $s: B \to E$ con $sf = f_\xi \sigma$ . Además, $\xi sf = \xi f_\xi \sigma = f f^*(\xi) \sigma = f$ y $\xi s = 1_B$ ya que $f$ es suryente. Entonces $s$ es la sección transversal deseada.

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¿Qué significa "un mapa de identificación"? ¿Simplemente significa una sobreproyección? Estoy seguro de que no puede significar un homeomorfismo o incluso una biyección porque eso haría que la segunda parte fuera trivial.

Answer 1

Como dice Iasafro, esto significa que $B$ tiene el topología del cociente inducido por la suryección $f\colon B' \to B$ y la topología en $B'$ . La implicación de esto que utiliza Husemöller es que cualquier mapa continuo $g\colon B' \to C$ que es constante en las fibras de $f$ inducirá un único mapa continuo $g_*\colon B \to C$ tal que $g_* \circ f = g$ .

La existencia y la unicidad de tal mapa de establece es trivial. Para ver que es continua, dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $C$ . Entonces $f^{-1}(g_*^{-1}(U)) = g^{-1}(U)$ está abierto como $g$ es continua, y por tanto $g_*^{-1}(U)$ está abierto porque $B$ hhh aaah sssah sattt shhht eeeht ehqq euuuq ooouqtttouiiitoeeeitnnneitttne tnttt tooot pppototooopolllopooologggolyyygo ygiii ynnni dddniuuudncccudeeecudddec debbb dyyyb yb h ahsa st hteh eq uqoutoiteinetn tt otpooploolgoyg yi nidnudcuecde db yb $f$ .]

Answer 2

Dados dos espacios topológicos $(X,\tau_X)$ y $(Y,\tau_Y)$ un mapa $f:X\rightarrow Y$ es un mapa de identificación si es suryente y para cada subconjunto $U$ de $Y$ , $U\in\tau_Y$ equivale a $f^{-1}(U)\in \tau_X$ .