¿Es la función $f(x)$ uniformemente continua en $(0, 1)$ si (a) $f(x) = x\sin(x^{-2})$ y si (b) $f(x) = \sin(x^{-2})$ ?

Question

¿Es la función $f(x)$ uniformemente continua en $(0, 1)$ si

(a) $f(x) = x\sin(x^{-2})$

(b) $f(x) = \sin(x^{-2})$

He estado utilizando la notación de la O grande para tratar de resolver esto - ya que $$\sin(u) = u- {u^{3}\over3!}+{u^{5}\over5!} - \dots$$ que puede escribirse como $$\sin(u) = u- {u^{3}\over3!}+O(u^{5}).$$

Entonces, sustituyendo $\displaystyle u = {1\over x^{2}}$ , obtenga $$\sin\bigg({1\over x^{2}}\bigg) = {1\over x^{2}}- {1\over(3!)x^{6}}+O\bigg({1\over x^{10}}\bigg)$$

y $$x\sin(x) = {1\over x}- {1\over(3!)x^{5}}+O\bigg({1\over x^{9}}\bigg)$$

(¿Se me permite cancelar así en notación O grande?).

Donde estoy atascado es en cómo arreglar esto para demostrar la continuidad uniforme. Conozco la definición de continuidad uniforme, por siempre $\epsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que $|x-c|<\delta$ y $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ pero no sé cómo reorganizar la notación de la gran O para que se ajuste a esta definición.

Answer 1

Desde $f(x) = x\sin(1/x^2)$ tiene límite $0$ como $x \to 0$ podemos ampliar $f$ a una función continua $g : [0,1] \to \mathbb{R}$ definido por $g(x) = x\sin(1/x)^2$ en $(0,1)$ y $g(0) = 0$ . Desde $[0,1]$ es compacto, $g$ es uniformemente continua en $[0,1]$ . Por lo tanto, $g$ es uniformemente continua en $(0,1)$ por lo que también lo es $f$ .

Ahora el otro: Dejemos que $\delta > 0$ . Elija $n \in \mathbb{N}$ con $n > 1/\delta$ . Entonces

\begin {equation*} \begin {alineado} \left\vert \frac {1}{ \sqrt { \pi n}} - \frac {1}{ \sqrt { \pi (n + 1/2)}} \right\vert &= \left\vert \frac { \sqrt {n + 1/2} - \sqrt {n}}{ \sqrt { \pi n(n + 1/2)}} \right\vert \\ &< \left\vert \frac {1}{ \sqrt { \pi n(n + 1/2)}} \right\vert \\ &< \left\vert \frac {1}{n} \right\vert \\ &= \delta \end {alineado} \end {equation*}

Pero

$$\left\vert \sin\left(\frac{1}{(1/\sqrt{\pi n})^2}\right) - \sin\left(\frac{1}{(1/\sqrt{\pi(n + 1/2)})^2}\right)\right\vert = 1.$$

Así que $f(x) = \sin(1/x^2)$ no es uniformemente continua en $(0,1)$ .