¿Por qué no funciona esta demostración de la regla del cociente de los límites?

Question

La duda es, si demostramos la regla del producto de los límites, ¿no podemos demostrar directamente la regla del cociente? Pero donde quiera que busque en internet, dan otra $\epsilon-\delta$ prueba de la regla del cociente, ¿por qué es necesaria? Mi prueba de la regla del cociente :

$\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}$ = $\lim_{x\to a}{f(x)}$$\lim_ {x \to a}{ \frac {1}{g(x)}}$ . (Aceptando la regla del producto)

\= $\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}$ $\lim_{x\to a}{\frac{1}{g(x)}}$$\lim_ {x \to a}{g(x)}$ Multiplying and dividing by $\lim_ {x \to a}{g(x)}$

\= $\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}$ $\lim_{x\to a}{[\frac{1}{g(x)}}{g(x)} ]$ (Aceptando la regla del producto)

\= $\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}$ $\lim_{x\to a}{1}$

\= $\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}({1})$ (Aceptando $\lim_{x\to a}{c}$ = c )

Y de ahí el resultado. ¿Me estoy perdiendo algo aquí, tal vez esto es un razonamiento circular? ¿Por qué no funciona?

Answer 1

Sólo se le da ese $$\lim_{x\to a} g(x) = B \not=0.$$ Sin la regla del cociente, ni siquiera se sabe si $$\lim_{x\to a} \frac{1}{g(x)}$$ existe (o que es igual a $1/B$ ), por lo que el uso de la regla del producto en su primer paso no está justificado.

Sin embargo, si se demuestra la afirmación anterior, entonces se puede utilizar la regla del producto para demostrar la regla general del cociente $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B},$$ como usted propuso.

EDITAR : Para que quede totalmente claro, aquí están los enunciados de la regla del producto y de la regla del cociente.

Supongamos que $$\lim_{x\to a} f(x) = A, \quad \text{and} \quad \lim_{x\to a} g(x) = B.$$ Entonces $$\lim_{x\to a} f(x) \cdot g(x) = A\cdot B.$$ Si además tenemos $$\lim_{x\to a} g(x) = B \not= 0,$$ entonces $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}.$$

Obsérvese que en ninguna parte se asume que $$\lim_{x\to a} \frac{1}{g(x)}$$ existe. Hay que demostrarlo (lo que básicamente equivale a demostrar la regla del cociente).