EDO lineal homogénea de segundo orden sin coeficientes constantes

Question

Tengo problemas para encontrar la solución general de la siguiente EDO de segundo orden para $y = y(x)$ sin coeficientes constantes:

$3x^2y'' = 6y$
$x>0$

Me doy cuenta de que puede ser posible simplemente adivinar la forma de la solución y sustituirla de nuevo en la ecuación, pero no quiero utilizar ese enfoque aquí.

Agradecería cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

Sugerencia

De forma sencilla $$y''-2\dfrac {y}{x^2} = 0$$ $$x^2y''+2xy'-2xy'-2y= 0$$ $$(x^2y')'-2(xy)' = 0$$ Integrar $$(x^2y')-2(xy) = K_1$$ Dividir por $x^4$ $$\dfrac {x^2y'-2xy}{x^4} = \dfrac {K_1}{x^4}$$ $$(\dfrac {y}{x^2})' = \dfrac {K_1}{x^4}$$ integrar de nuevo $$\dfrac {y}{x^2} = \int \dfrac {K_1}{x^4}dx +K_2$$ $$\boxed{y(x)=\frac {K_1} x +K_2 x^2}$$

Answer 2

A partir de la forma de esta ecuación diferencial $$3x^2y'' = 6y$$ es evidente que $y=x^k$ es una solución potencial.

Tras la sustitución de $y=x^k$ se nos ocurre $k=2$ y $k=-1$

Así, la solución general es $$ y= C_1 x^2 +C_2 x^{-1}.$$