Entero de soluciones de $x^3+y^3=z^2$

Question

Es allí cualquier entero otra solución que la $(x,y,z)=(1,2,3)$$x^3+y^3=z^2$?

Answer 1

Tanto como para ternas Pitagóricas, hay parametrizaciones para la coprime soluciones a tales ecuaciones (esto es generalmente cierto para $x^p+y^q=z^r$ siempre que la suma de los recíprocos de $p, q$ $r$ supera $1$). Uno puede encontrar estos en las páginas 467 a 470 de Henri Cohen excelente Springer GTM 240 : uno de esos parametrización (hay $3$ en total) es tomar $$ x=-3^4+6t^2s^2+t^4, \; y=3^4+6t^2s^2-c^4, \; z = 6 s t ( 3 s^4+t^4), $$ donde $s$ $t$ son coprime, de frente a la paridad, y $3$ no divide $t$. Por supuesto, esto es hasta el intercambio de $x$$y$.

Como se señaló anteriormente, no coprime soluciones son fácilmente encontrados.

Answer 2

Usted puede multiplicar $x$$y$$a^2$, e $z$$a^3$.

No es la aburrida $(0,0,0)$. Y casi igual de aburrido $(-1, 1,0)$. Y luego tenemos a $2^3+2^3=4^2$ y sus familiares.

Answer 3

Puede ser de ayuda considerar que $x^3 + y^3 = ( x + y ) \cdot ( x^2 - xy + y^2)$, por lo que uno podría empezar buscando los valores de $x$ $y$ para que esos factores son iguales (y, a continuación, para los valores de un factor "completa un cuadrado" con el otro).

APÉNDICE: yo tenía un poco de tiempo para pensar más sobre esto durante mi nieve a pie de la casa... Nos puede mostrar que si ponemos en $x = y$ , los dos factores son $2x \cdot x^2$, que sólo nos da el (2, 2, 4) de la familia de soluciones de [aparte de $(0,0,0)$].

De hecho, si ponemos $y = kx$ ($k$ integral), los factores se $[k + 1]x \cdot [k^2 - k + 1]x^2$, por lo que tenemos $ k + 1 = k^2 - k + 1 \Rightarrow k = 0, 2$ si se requieren los dos factores de $( x + y ) $ $ ( x^2 - xy + y^2)$ a ser igual. [Di cuenta de que $k = 2$ va a producir, por ejemplo, el $(1,2,3)$ familia.] Así que casi todas las soluciones son aquellos para los cuales uno de estos factores contiene un divisor sólo una vez que aparece también en el otro factor sólo una vez. Un ejemplo es $(4,8,24)$, por lo que los factores se $(4+8) \cdot (4^2 - 4 \cdot 8 + 8^2) = ( 2^2 \cdot 3 ) \cdot (3 \cdot 4^2)$ . Esto debería ayudar a reducir la búsqueda de algo.

Answer 4

Hice un pequeño experimento. Tengo estas.

1 2 3
2 1 3
2 2 4
4 8 24
7 21 98
8 4 24
8 8 32
9 18 81
18 9 81
21 7 98

Algunos están duplicados. Escribí este programa en Python.

for k in range(1,100):
    for j in range(1,100):
        for l in range(1,100):
            if(k**3 + j**3 == l**2):
                print k, j, l

Es crudo, pero se puede jugar con él para ver de qué se agitan.