Prueba de desigualdad con cos

Question

Necesito probar para cualquier $x_1$ y $x_2$ , $|\cos{x_2}-\cos{x_1}| \leq |x_2-x_1|$ .

¿Cómo podría hacer esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Puedes utilizar el teorema del valor medio. Para cada $x_1,x_2\in\mathbb R$ existe $\phi(x_1,x_2) $ que se encuentra entre $x_1,x_2$ tal que: $$\dfrac{\cos x_1-\cos x_2}{x_2-x_1}=\cos'(\phi(x_1,x_2))=-\sin(\phi(x_1,x_2))\Rightarrow$$ $$|\cos x_1-\cos x_2|=|\sin(\phi(x_1,x_2))|\cdot|x_1-x_2|\leq|x_1-x_2|$$

Answer 2

$\left|\cos(x)-\cos(y)\right| = \left|\left(\cos y +\int_y^x \cos '(t) dt\right)-\cos ( x )\right|=\left|\int_y^x \cos '(t) dt\right|\le \left|\int_y^x -\sin(t) dt\right| \le \left|\int_y^x \left|-\sin(t)\right|\right| dt \le \left(\sup\left|-\sin\right|\right)\left|\int_y^x dt\right| \le \left|\int_y^x dt\right| = |x-y|$