Dejemos que $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ (es decir, una variable aleatoria cuya distribución es la distribución normal estándar). Determine la función característica de $Z$ .
Es $\mathbb{P}_Z=f\lambda$ con $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$ y $\lambda$ el Lebesgue-mesaure. $$ \varphi_Z(t)=\int e^{itz}\, d\mathbb{P}_Z=\int e^{itz}f\, d\lambda $$ Ahora en un libro de texto vi que simplemente escriben $$ \int e^{itz}f\, d\lambda=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{itz}e^{-\frac{z^2}{2}}\, dz. $$
¿Por qué pueden cambiar a la integral de Riemann aquí?
¿Y por qué integrar más $(-\infty,\infty)$ ? No veo que $Z$ tiene que ser una variable aleatoria en $\mathbb{R}$ .
