$G$ es un grupo abeliano finito. $A \times B$ puede ser incrustado en $G$ . ¿Significa esto que existe $C$ , $D$ tal que $G=C \times D$ y $A$ puede ser incrustado en $C$ y $B$ puede ser incrustado en $D$ ?
Respuestas
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Jay Michaud
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Mi primera reacción fue que la respuesta es no, pero había interpretado mal la pregunta.
Una pregunta diferente es: Si $A$ y $B$ son subgrupos del grupo abeliano $G$ tal que $A \times B$ se incrusta en $G$ ¿es cierto que hay subgrupos $C$ y $D$ de $G$ con $A \subseteq C$ , $B \subseteq D$ y $G \cong C \times D$ .
Esta es la forma en que un electricista resuelve el problema:
Dejemos que $U$ sea una tensión en la entrada de la escalera de las resistencias. Sea $I_k$ sea la corriente en el brazo horizontal de la sección k-ésima, $I_0$ sea la corriente en el brazo horizontal de la sección 0 (sección inicial), $I_n$ sea la corriente en el brazo horizontal de la n-ésima sección (última sección) Así que estoy trabajando actualmente con $n+1$ secciones. Aplicando sucesivamente a los circuitos cerrados la ley de tensión de Kirchhoff, encontramos:
$$RI_0+R(I_0-I_1)=U$$
$$R(I_0-I_1)-RI_1-R(I_1-I_2)=0$$
$$..............................$$
$$-R(I_{n-1}- I_n)+2RI_n=0$$ Después de la simplificación:
$$2I_0-I_1=\frac{U}{R}$$
$$3I_k-I_{k+1}-I_{k-1}=0$$
$$3I_n-I_{n-1}=0$$ Ahora, la resistencia efectiva:
$$R_e=\frac{U}{I_0}$$ El siguiente paso es resolver la relación de recurrencia. Sorprendentemente, Wolfram Alpha hace un buen trabajo: Enlace aquí . Hay $f(k)$ en lugar de $I_k$
Así que $R_e=R\frac{(7-3\sqrt 5)(3-\sqrt 5)^n+(3+\sqrt 5)^{n+1}}{(1+\sqrt 5)(3+\sqrt 5)^n-2(\sqrt 5-2)(3-\sqrt 5)^n}$
Esta respuesta es coherente con la de Zassounotsukushi
