Cómo encontrar $z$ con $|\sin z | \le 1$ ?

Question

Estoy tratando de encontrar todos $z \in \mathbb C$ tal que $|\sin z |\le 1$ .

Lo que he hecho hasta ahora:

Evidentemente, para todos los $z$ esto se satisface.

A continuación traté de reescribirlo así:

$$ |\sin z |^2 = |\sin x + iy |^2= \sin^2 x \cosh^2 y + \cos^2 x \sinh^2 y $$

pero esto no parece ayudar. Puedo limitarlo con $\cosh^2 y + \sinh^2 y $ pero eso no es útil.

Ahora mi pregunta es:

¿Cómo puedo encontrar todos los $z$ tal que $|\sin z | \le 1$ ?

Answer 1

Utiliza eso $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ y $\cosh^2 y-\sinh^2 y=1$ lo consigues:

$$|\sin z|^2 = \sin^2 x\cosh^2 y +(1-\sin^2 x)\sinh^2 y = \sin^2 x + \sinh^2 y$$

Así que lo necesitas:

$$\sinh^2 y \leq 1-\sin^2 x =\cos^2 x$$