La comprensión de momento los mapas y la Mentira soportes

Question

Estoy tratando de aprender sobre el momento en los mapas de topología simpléctica (supongamos que nuestro grupo Mentira es $G$ con la Mentira de álgebra $\mathfrak g$, actuando sobre la simpléctica colector $(M,\omega)$ por symplectomorphisms). Estoy teniendo un tiempo difícil, y me he dado cuenta de que esto es debido a que no tengo una buena comprensión conceptual de la Mentira de soporte, ya sea en la Mentira de álgebra $\mathfrak g$, o en el grupo de symplectomorphisms de $(M,\omega)$, o en el espacio de las funciones de $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$. Por lo tanto yo no puede "visualizar" el Hamiltoniano de la condición, que requiere que el lineal mapa de $\mathfrak g \rightarrow \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$, que existe cuando la acción por $G$ es "exacto," una Mentira álgebra homomorphism.

Por favor, dígame cómo usted personalmente entender/intuit/conceptualizar esta situación, tanto la Mentira de soporte de cosas y en el momento en mapas más en general! Cualquier ayuda es muy apreciada.

EDIT: no me di cuenta de cómo la no-estándar, algunas de esta terminología, por lo que mi pregunta puede ser confuso. Yo llame a la acción $\rho: G \rightarrow {\rm Symp}(M,\omega)$ "exacta", si la imagen de la inducida por el mapa de $\rho: {\rm Lie}(G) \rightarrow {\rm Lie}({\rm Symp}(M,\omega))$ está contenida en el sub-mentira-algebra de campos vectoriales Hamiltonianos. La condición de que se me confunde, ahora me doy cuenta, es solo un punto de vista técnico: que hemos de elegir un conjunto de representante de Hamilton funciones de la imagen $\rho({\rm Lie}(G))$ que es un sub-Mentira-álgebra de $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ con su corchete de Poisson. Gracias a todas las respuestas útiles creo entender esta mucho mejor ahora.

En particular, si presentamos ${\rm Lie}(G)$ (que se supone finito dimensionales, semi-simple, etc) por Mentira álgebra generadores (con algunas relaciones), entonces podremos elegir sólo de elementos apropiados en $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ de estos generadores, y luego el resto del mapa de ${\rm Lie}(G)$ $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$es solo forzada en nosotros, y esto le da un Hamiltoniano de acción? Es ese derecho?

Answer 1

Creo que la siguiente manera (Kostant, 1970) que la mejor manera de pensar acerca de la condición de Hamilton.

En primer lugar, "por qué" existe una central de extensión de la $H^0(M; {\mathbb R}) \to C^\infty (M) \to symp(M)$ de álgebras de Lie? De ¿qué es $C^\infty (M)$ supone que la Mentira de grupo? Para $symp(M)$, la Mentira algebra de campos vectoriales aniquilando la forma simpléctica $\omega$, es claro que se debe el álgebra de Lie del grupo de $Symp(M)$ de symplectomorphisms.

Supongamos ahora que $[\omega]$ es integral. Entonces es $c_1$ de algunos "prequantization" línea bundle $\mathcal L$, e $\omega$ es la curvatura de algunos Hermitian conexión de $\alpha$ en esa línea, el bundle. Deje $Aut(M,{\mathcal L},\alpha)$ denotar el grupo de Hermitian paquete de automorfismos (que se mueve a la base de todo) de $\mathcal L$ preservar $\alpha$. Este grupo, obviamente, se asigna a $Diff(M)$, olvidando la acción sobre las fibras, sino porque conserva $\alpha$ $\mathcal L$ preserva $\omega$$M$, por lo que la imagen se encuentra dentro de $Symp(M)$. El núcleo se compone de paquete de automorfismos que sólo actuará fiberwise, y para conservar la plana de conexión se debe, en cada componente, girar todas las fibras por el mismo elemento de $U(1)$.

El Hamiltoniano condición, entonces, es si uno puede levantar de la acción de la $G$ $M$ a una acción en la línea de paquete de más de $M$. Es muy fácil, con un ascensor, para escribir un momento de mapa. (Básicamente, ahora que usted está tratando con un $1$forma $\alpha$ en lugar de un $2$forma $\omega$, puede vincular campos vectoriales de $\mathfrak g$ con ella).

Un ejemplo que me parece instructivo es ${\mathbb R}^{2n}$ que actúa sobre sí mismo por la traducción, con el espacio, dada la habitual estructura simpléctica. Que actúa como symplectomorphisms, y el espacio es simplemente conectado, así que no hay $H^1$ obstrucción (como cuando se $T^1$ actúa en $T^2$). Pero uno no puede levantar las medidas para preservar la (no plana) conexión en la (trivial) de la línea de paquete; sólo se levanta a una acción del grupo de Heisenberg.

Otra sutil ejemplo es $SO(3)$ actuando en $S^2$ con el área de $1$ estructura simpléctica. En la Mentira de álgebra nivel, sí, la acción de Hamilton. Pero en realidad $SO(3)$ no actuar en la línea de paquete; sólo su doble cubierta $SU(2)$.

Por último, piense en el caso de que $G$ actúa de manera algebraica en $X \subseteq {\mathbb P}V$. Me gustaría decir que $X$ es "equivariantly proyectiva" si $G$ actúa en ${\mathbb P}V$ preservar $X$, y esto es bastante casi un algebro-geométrica de reemplazo para el Hamiltoniano condición. (No-ejemplo: $X$ es un nodal cúbicos curva, cuya suave locus es ${\mathbb C}^\times$, actuó por ${\mathbb C}^\times$.)

Answer 2

Esta pregunta es (al menos como yo lo leí) acerca de la distribución de Poisson soporte; el corchete de Poisson es una Mentira estructura de soporte en las funciones de un simpléctica colector.

Entonces, ¿cómo debe uno pensar acerca de Poisson soporte? Bien, recuerda que para cada función en un simpléctica colector, uno tiene un campo de vectores Hamiltoniano $X_f$. Una manera de pensar acerca de esto es que si tu simpléctica colector es el espacio de fase de un sistema físico (el espacio de las posiciones posibles y momenta), y $f$ es la función de la energía, entonces el vector resultante de campo es la derivada de la evolución en el tiempo del sistema.

El corchete de Poisson $\{f,g\}$ se define a ser $X_f(g)$, la derivada de $g$ a lo largo del campo de vectores $X_f$. Que es el corchete de Poisson de $f$ $g$ es el tiempo derivado de la $g$ si $f$ como la función de la energía. Cabe destacar que esta operación es anti-simétrica, y define una Mentira álgebra estructura.

Como usted ha mencionado, un momento en el mapa equivale a una Mentira álgebra homomorphism de $\mathfrak{g}$ en el espacio de las funciones en el colector. No estoy seguro de cómo usted está exactamente supone para visualizar eso, pero vamos que me explique cómo pensar.

Así, imagine que tiene su favorito de la G-acción en un simpléctica colector, la preservación de la estructura simpléctica. Tomando la derivada, se obtiene un mapa de álgebras de Lie de $\mathfrak{g}$ a campos vectoriales en el colector. Suena por tu pregunta como la forma de pensar de tales Mentira álgebra homomorphisms es en realidad lo que está confuso. Este dice que si se va a integrar los campos vectoriales que viene de $\mathfrak{g}$, se obtendrá el grupo G (o tal vez de un número finito de cubierta).

Ahora, cada uno de estos campos vectoriales corresponde bajo la forma simpléctica a una 1-forma. Si el colector no tiene $H^1$, entonces usted puede integrar estas funciones, pero, por supuesto, usted no puede hacer esto de forma exclusiva; es sólo el único hasta una constante. Así que tomando todos estos ascensores, se obtiene un espacio vectorial de las funciones que se $\dim \mathfrak{g}+1$ dimensiones (asumiendo $G$ actuado fielmente). Este es cerrado bajo la Mentira de soporte, por lo que es finito dimensionales Mentira álgebra $\tilde {\mathfrak{g}}$ con un mapa de $\tilde {\mathfrak{g}}\to {\mathfrak{g}}$.

Podría ser que la $\tilde {\mathfrak{g}}\cong {\mathfrak{g}}\times \mathbb{R}$ como una Mentira álgebra, en cuyo caso puede llegar un momento en el mapa mediante la selección de una división del mapa de arriba, o puede que no, en cuyo caso usted no tiene un momento de mapa. Si $\mathfrak{g}$ es semi-simple, entonces el segundo caso es imposible, por lo que siempre tiene un momento de mapa.

Answer 3

Lo que estoy a punto de decir que está implícita en Ben Webster respuesta, pero me imaginé que iba a hacer explícito.

Un Hamiltoniano grupo de acción sobre una simpléctica colector de M debe ser pensado como una Mentira grupo homomorphism $G \to Ham(M)$, por lo que induce una Mentira álgebra de mapa de $Lie(G) \to Lie(Ham(M))$.

Pero lo que es Mentira(Jamón(M))? Es el normalizado $C^\infty(M)$ (los $f$ cuyo integral sobre M es cero, si M es cerrado) y la Mentira de soporte es el corchete de Poisson.

Así que el Hamiltoniano condición para un simpléctica grupo de acción es sólo que usted quiere que su Mentira grupo homomorphism $G \to Symp(M)$ para el factor a través de la Mentira grupo homomorphism $Ham(M) \to Symp(M)$.

Answer 4

Yo no soy un experto, pero no me parece que la situación es muy difícil imaginar^{(véase la nota a continuación)}. No uso nada más allá del hecho de que "la Mentira álgebra es el espacio de la tangente de la Mentira de grupo en la identidad". Además, para este propósito es suficiente para imaginar el espacio de la tangente como flechas en la identidad de la Mentira de grupo, apuntando en la dirección que usted pueda moverse.

Oh, y un comentario que podría ser útil para algunos. Tener un mapa de $M \to \mathfrak g^*$ que me suele pensarse como un "momento " mapa" es exactamente lo mismo que tener un mapa de $\mathfrak g \to C^\infty(M,\mathbb R)$ el interlocutor está hablando, y la última es más fácil de visualizar.

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El caso más simple es cuando $G=\mathbb R$. Este es el caso de la (independiente del tiempo) Hamiltoniana de flujo. La Mentira-álgebra $\mathfrak g$ es unidimensional, por lo que un momento lineal mapa de $f:\mathfrak g \to C^\infty (M,\mathbb R)$ está determinado por su valor en el vector unitario $\vec e \in \mathfrak g$. Si $H=f(\vec e)$, esto es, precisamente, el de Hamilton en su colector. El flujo con respecto al momento en que mapa es precisamente el mismo que el flujo de este Hamiltoniano.

El siguiente caso más simple es cuando $G=\mathbb R^n$. La única diferencia aquí es que hay varias direcciones en las que se podía ir. Deje ${\vec e_1 ,\ldots \vec e_n} \in \mathfrak g$ ser los vectores en la identidad de $G$ que representan las direcciones posibles. Ahora, un momento en el mapa de $f:\mathfrak g \to C^\infty (M,\mathbb R)$ está determinado por n Hamiltonianos; para cada una de las $1\leq i \leq n$ tenemos $H_i = f(\vec e_i)$.

Ahora, cualquier ruta de acceso en $G=\mathbb R^n$ le corresponden a algunas de flujo en el colector $M$. En particular, si van siempre de la "derecha" (en el sentido de $\vec e_1$), el flujo será, precisamente, el de la Hamiltoniana $H_1$; la existencia de otras direcciones no importa. Si usted sólo va en la dirección de $\vec e_2$, el flujo será que de $H_2$. Por cualquier camino, puede aproximar por una tramos ruta lineal que siempre es paralelo a los ejes de coordenadas; el flujo será que de $H_i$ siempre que vaya paralelo a los ejes de $\vec e_i$.

Por último, si G es cualquier Mentira grupo, es un colector, por lo que localmente se parece a $\mathbb R^n$. Todo lo que he dicho anteriormente acerca de este caso aún se mantiene, con una excepción: las direcciones coordenadas no puede ser "independiente". (Así que, va a la derecha, luego arriba, luego a la izquierda, luego hacia abajo, no podría llevar exactamente el mismo punto en el que empezó) Lamentablemente, en este punto de mi maestría acabe, para ver las otras respuestas para una explicación detallada. Sin embargo, algebraicamente, la condición que se debe agregar es precisamente el momento en que el mapa f es una Mentira-álgebra homomorphism; pensar en esto como un término de error que usted necesita agregar a su cuenta de la falta de independencia cuando se cambia la dirección de su trozos camino lineal.

Por supuesto, en la práctica, en el cálculo de los flujos no es necesario aproximado nada con tramos lineales de caminos, ya que hay ecuaciones algebraicas le dará el Hamiltoniano que corresponde a cualquier dirección. En el caso de $\mathbb R ^n$, el mapa de f será simplemente lineal, en general, es probable que un término de error.

Ah, y por último, la mayoría de las ecuaciones algebraicas son probablemente más simple si usted piensa en su momento los mapas de maps $M \to \mathfrak g^*$.

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Nota: Cuando escribí que todo es sencillo, no lo había pensado de los términos de error (ver arriba). Sin embargo, creo que para la mayoría conceptual de los efectos, es mejor pensar en su Mentira grupo como $\mathbb R^n$ con algunos de los términos de error añadido. Alguien me corrija si estoy equivocado, pero cuando describimos la Mentira de los grupos a través de la "estructura " formas", no es precisamente una manera de hacer que esta idea precisa?

Answer 5

En el momento en mapa condición es una forma precisa de Noether del teorema. Siempre que tengas una $G$-invariante de Hamilton, su flujo de preservar el valor del momento de mapa.
Que es, en cierto sentido, el momento en el mapa de la condición:
$\mu:(M,\omega)\rightarrow \mathfrak{g}^*$ debe ser equivariant y satisfacer
$\langle d \mu(x).v,\xi\rangle=\omega(\xi_M(x),v)$ todos los $v\in T_x M$ $\xi\in \mathfrak{g}$

Ahora, considere el flujo de $\phi^t$ de la $G$-invariante de Hamilton $H$. Luego de calcular
$\frac{d}{dt}|_0 \langle\mu(\phi^t(x)),\xi\rangle=\langle d\mu(x).X_H(x),\xi\rangle=\omega(\xi_M(x),X_H (x))=dH(x).\xi_M(x)=\frac{d}{dt}|_0 H(e^{t\xi}.x)=0$
puesto que H es $G$-invariante. También hay una motivación de simpléctica la reducción, pero no sé si eso es realmente relevante en el principio.
Por favor, no te desanimes por este "soporte material". Yo no lo considero particularmente instructivo de todos modos...