Determinar que esta base es linealmente independiente con una variable

Question

Tener la base

$$B = \{ (1,2,0) , (1,1,1) , (1,a,0) , (0,0,a) \}$$

Explica por qué esta base no tiene una dimensión de $4$ .

La única manera sería, supongo, que es linealmente dependiente, por lo que debería tener menos de $4$ vectores, teniendo así una dimensión menor que $4$ .

Desde $a$ es libre, digamos que es $a = 0$ . Tendríamos

$$B = \{ (1,2,0) , (1,1,1) , (1,0,0) , (0,0,0) \}$$

Claramente $(0,0,0)$ es redundante, por lo que es dependiente.

¿Es ese el razonamiento correcto? No estoy seguro de si es suficiente simplemente con establecer $a = 0$ .

Answer 1

Sugerencia: para determinar si los vectores $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3, \vec v_4$ son linealmente (in)dependientes, resolver $x_1\vec v_1+x_2 \vec v_2+x_3 \vec v_3+x_4 \vec v_4= \vec 0$ .

Si el sólo La solución de este sistema de ecuaciones es $x_1=x_2=x_3=x_4=0$ (solución trivial), entonces los cuatro vectores son linealmente independientes; en caso contrario, son linealmente dependientes.

Resolver $x_1\vec v_1+x_2 \vec v_2+x_3 \vec v_3+x_4 \vec v_4= \vec 0$ obtenemos el siguiente sistema: $$\begin{bmatrix} 1 &1 &1 &0 \\ 2 & 1 & a & 0 \\ 0&1&0&a\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}.$$

Resolver esto (eliminación gaussiana) y (con suerte) deducir que existe una solución no trivial para esto, lo que significa que los cuatro vectores son linealmente dependientes, por lo que no pueden formar una base de $\mathbb{R^3}$ (o una trampa es decir que tenemos menos ecuaciones que incógnitas, por lo que hay debe sea una solución no trivial del sistema).

Answer 2

Una forma de hacerlo sería introducir los vectores como filas de una matriz. A partir de ahí, realice la eliminación gaussiana. Una vez que haya terminado, las filas no nulas proporcionarán una base para el "espacio de filas" de la matriz. En concreto, el número de filas no nulas dará la dimensión del subespacio $S = Span(v_1, v_2, v_3, v_4)$ . Realizando esto, verás que obtendrás al menos una fila de ceros, por lo que $\dim(S) < 4$ .

Como regla general, si está trabajando en $\mathbb{R}^n$ entonces puedes tener como máximo $n$ vectores linealmente independientes. En este caso, tenemos cuatro vectores en $\mathbb{R}^3$ Así que va a haber problemas.