Prueba de que dos operadores con espectros puntuales continuos y un conjunto completo de funciones propias simultáneas conmutan

Question

Estaba ojeando la "Introducción a la Mecánica Cuántica" de David Griffiths (que sé que es horrible en cuanto a rigor matemático) cuando encontré un problema que básicamente te pide que demuestres que si dos operadores $\hat{P}$ y $\hat{Q}$ tienen un conjunto completo de funciones propias simultáneas, entonces $\left[\hat{P}, \hat{Q}\right]\phi = 0$ , $\forall\phi\in L^2\left(\mathbb{R}\right)$ . He restringido mi atención a los operadores cerrados debido a su buen comportamiento con los límites, y para estos puedo responder al problema para dos operadores con espectros puntuales discretos ya que $$\left[\hat{P},\hat{Q}\right]\phi=\left[\hat{P},\hat{Q}\right]\sum_rc_r\psi_r=\sum_rc_r\left[\hat{P},\hat{Q}\right]\psi_r=0$$ donde el $\psi_r$ son funciones propias simultáneas de $\hat{P}$ y $\hat{Q}$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder para un par de operadores con espectros puntuales continuos porque no sé prácticamente nada de teoría de operadores. Por ejemplo, no estoy seguro de si una manipulación similar: $$\left[\hat{P},\hat{Q}\right]\phi=\left[\hat{P},\hat{Q}\right]\int_{-\infty}^{\infty}c(r)\psi_r\;dr\overset{?}{=}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\hat{P},\hat{Q}\right]c(r)\psi_r\;dr$$ es válido o incluso útil en este caso, ya que si $\hat{P}$ resulta ser un operador diferencial con respecto a $r$ o algo de naturaleza similar, este enfoque particular puede no sostenerse. Si alguien conoce una buena prueba para esto, ¡agradecería mucho la ayuda! ¡También me disculpo de antemano si algo en esta pregunta suena como una total tontería!

EDITAR: Después de leer el teorema espectral en la Wikipedia, me pregunto si es válido sacar operadores unitarios bajo una integral. Del enunciado del teorema, parece que para un operador autoadjunto $P$ en un espacio de Hilbert ( $L^2(\mathbb{R})$ para mis propósitos), lo siguiente es cierto para sus funciones propias $\xi_p$ $$T_PU\xi_p = pU\xi_p$$ donde $T_P$ es algún operador de multiplicación y $U$ es algún operador unitario, de modo que una función $\psi(s) = U\phi(x)$ en el ámbito de $T_P$ puede expandirse como $$\psi(s)=\int_\mathbb{R}c_1(p)U\xi_p(x)\;dp$$ $$\psi(s) = U\phi(x) = U\int_\mathbb{R}c_2(p)\xi_p(x)\;dp$$ hace $c_1(p) = c_2(p)$ (es decir, ¿puedo tirar de $U$ bajo la integral)? Me disculpo si estoy malinterpretando algo.

Answer 1

Lo siento, veo que querías decir $U$ es ese operador específico, así que olvídate de mi ejemplo.

El problema con $$T_PU\xi_p = pU\xi_p$$ es que cuando hay un espectro continuo (como para un operador de momento) las funciones propias no son normalizables (para una partícula libre son $\exp{ipx}$ ), por lo que rigurosamente no son vectores en el dominio de $U$ .

En el caso del espectro discreto se puede escribir un operador hermetiano $$\Sigma E_i P_i$$ donde $E_i$ es el valor propio y $P_i$ es el operador de proyección sobre el eigespacio. La teoría espectral generaliza esto a los espectros continuos considerando (a grandes rasgos) las proyecciones sobre los estados en intervalos $[E, E+\epsilon]$ . Están bien definidos en vectores normalizables y permiten un análogo integral de $\Sigma E_i P_i$ que se construya en términos de una "medida con valor de proyección". Esto también incluye los valores propios discretos como pasos en la función de medida. "Un conjunto completo de funciones propias simultáneas" se traduce en tener la misma medida espectral, por lo que la forma integral de su argumento puede hacerse rigurosa.