Sin usar la medida de ángulos, ¿cómo demuestro que dos líneas son paralelas a la misma línea son paralelas entre sí?

Question

Actualmente estoy utilizando el libro "Euclidean Geometry" de David M. Clark.

Tengo que demostrar que: dos líneas paralelas a la misma línea son paralelas entre sí.

Todavía no puedo utilizar la medida de ángulo (grados).

Soy capaz de utilizar cualquier congruencia de triángulo (SSS, SAS, AAS, ASA, HL)

Puedo utilizar bisectrices de ángulos, puntos medios, círculos, ángulos rectos, triángulos isósceles, ángulos verticales, ángulos correspondientes, ángulos interiores alternos, ángulos exteriores y cuadrados para demostrarlo.

Tenemos estos teoremas que pueden ser útiles para demostrarlo:

• Si dos rectas tienen una transversal que forma ángulos interiores alternativos interiores alternativos que son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.

• Si dos rectas tienen una transversal que forma ángulos correspondientes que son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.

• Un ángulo exterior de una transversal no es congruente con ninguno de los dos
  ángulo interior opuesto.

• Los ángulos verticales son congruentes.

• Los ángulos congruentes tienen suplementos congruentes.

• Todos los ángulos rectos son congruentes.

• Axioma 5: Para cada línea l y cada punto P no en l hay como máximo una línea que contenga P que es paralelo a l .

Empecé dibujando dos líneas paralelas, l y m y señalar P en m pero realmente no sé ni por dónde empezar.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Dibuja una línea paralela a A como B . Alterne los ángulos a = b

Dibuja una línea paralela a A como C . Alterne los ángulos a = c

a = b = c

$ \because$ a = c, A es paralelo a C por el thm inverso, el primero de la lista dada.

Answer 2

Creo que ahora tengo una prueba correcta.

Prueba por contradicción: Supongamos por el contrario que dos rectas paralelas a la misma línea son no paralelos entre sí. Sin pérdida de generalidad, supongamos que la línea m y la línea n son paralelos a una línea l pero m y n no son paralelos entre sí. Entonces, m y n se cruzan en un punto, P que no está en línea l . Sin embargo, esto contradice el Axioma 5 porque dos líneas estarían conteniendo a P y serían paralelas a l . Así que la suposición de que m y n no son paralelos era incorrecto. Por lo tanto, m y n son paralelos a l y también paralelos entre sí.