¿Cómo se define la autocorrelación de vectores?

Question

Supongamos que $v$ es un $n$ -vectorario con entradas del conjunto $\{0,1\}$ (es decir, un vector de unos y ceros).

Un artículo que estoy leyendo define las "secuencias de autocorrelación" $$v*v$$ donde $*$ denota el operador de correlación.

1) ¿Qué es una secuencia de autocorrelación de un vector?

2) ¿Qué es el operador de correlación? (Supongo que también se puede aplicar a dos vectores distintos)

---

Mi primera suposición fue que para autocorrelacionar un vector se prueban todas las permutaciones rotacionales posibles del vector y se mide el coseno del ángulo entre cada vector permutado con el original. Sin embargo, la función CorrelationFunction de Mathematica en $\{1,0\}$ con $lag=0$ devuelve 1 y con $lag=1$ devuelve $-\frac{1}{2}$ lo que echa por tierra mi teoría ya que esperaría que los vectores ortogonales tuvieran $0$ correlación. Entonces, ¿qué hace Mathematica aquí?

Answer 1

La correlación muestral de los vectores $(X_1, \dots, X_n)$ y $(Y_1, \dots, Y_n)$ es

$$\rho_{(X,Y)} = \frac{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y) }{S_XS_Y},$$ donde $\bar X, \bar Y$ son las respectivas medias muestrales y $S_XS_Y$ son las respectivas desviaciones estándar de la muestra.

A grandes rasgos, la autocorrelación muestral del lag $\ell$ de un vector $(X_1, \dots X_n)$ es la correlación muestral del vector $(X_1, \dots, X_{n-\ell})$ y el vector retardado $(X_\ell, X_{\ell + 1}, \dots, X_n).$

Se utilizan varios refinamientos en aplicaciones específicas. Tal vez el que usted busca es de la siguiente forma:

$$\rho_\ell = \frac{\sum_{i=1}^{n-\ell} (X_1 - \bar X)(X_\ell - \bar X) }{(n-1)S_X^2},$$ Observe que $\bar X$ y $S_X^2$ se basan en el todo secuencia. Además, cuando $\ell=0,$ tenemos $\rho_\ell = 1.$ Ver Wikipedia en la última viñeta bajo Estimación.

Según recuerdo, esto se utiliza en la función de R acf :

set.seed(1115)
x = round(rnorm(10,200,15))-20*(1:10); x
 [1] 176 169 127  99  96  92  45  70  10  12
acf(x)
acf(x, plot=F)

Autocorrelations of series ‘x’, by lag

     0      1      2      3      4      5      6      7      8      9 
 1.000  0.625  0.299  0.138 -0.060 -0.177 -0.304 -0.363 -0.434 -0.223