Estoy tratando de utilizar la teoría ingenua de conjuntos para averiguar una prueba de la siguiente afirmación:
$$(x = u \land y = v) \to 〈x, y〉 = 〈u, v〉$$ .
¿Qué proposiciones debo utilizar para demostrarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
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La lógica de la relación de identidad te dice que, si $T$ es cualquier teoría con un predicado de identidad estándar, y $f(\cdot)$ es una expresión funcional de un solo lugar construible en $T$ entonces
$$x = u \vdash_T f(x) = f(u).$$
Eso es algo inmediato a una de las reglas básicas que rigen la identidad. (Si no lo sabes, tienes que consultar las reglas de la identidad en un libro de texto estándar).
Dos aplicaciones de esa misma regla le dirán que si $g(\cdot, \cdot)$ es cualquier expresión funcional de dos lugares, entonces, de forma igualmente trivial
$$x = u, y = v \vdash_T g(x, y) = g(u, v).$$
lo que, por supuesto, implica inmediatamente (suponiendo que $T$ tiene una lógica sensata)
$$\vdash_T (x = u \land y = v) \to g(x, y) = g(u, v).$$
Así que para conseguir su condicional deseado, todo lo que necesita saber sobre la construcción $\langle \cdot, \cdot\rangle$ es que es una expresión funcional de dos lugares de la teoría $T$ . En el caso particular de que $T$ es una teoría de conjuntos, ingenua o elegante, entonces $\langle \cdot, \cdot\rangle$ es, por supuesto, una expresión funcional de este tipo: la función $x, y\mapsto \langle x, y\rangle$ mapas $x$ y $y$ a [algún conjunto que servirá como] su par ordenado, sea lo que sea exactamente, que no importa. Así que ahí lo tienes, su condicional
$$\vdash_T (x = u \land y = v) \to \langle x, y\rangle = \langle u, v\rangle.$$
se deduce trivialmente de la lógica de la identidad .
La divertida dirección no trivial (dada una definición específica para $\langle \cdot, \cdot\rangle$ ) es mostrar el condicional inverso:
$$\vdash_T \langle x, y\rangle = \langle u, v\rangle \to (x = u \land y = v),$$
y así confirmar que su versión preferida de $\langle \cdot, \cdot\rangle$ efectivamente entrega una implementación de pares ordenados. Pero eso no es lo que has pedido.
