$n$ cartas en $n$ sobres

Question

Una secretaria introduce al azar 9 cartas en 9 sobres. Sea $X$ sea la variable aleatoria que representa el número de cartas que han coincidido con los sobres correctos. Encontrar $E(X)$ y $var(X)$

Conozco la solución para "la probabilidad de que ninguno esté en el sobre correcto" y "la probabilidad de que al menos uno esté en el sobre correcto", pero no sé cómo resolver esto.

Answer 1

Para $i=1,2,\dots,9$ dejar $X_i$ tomar valor $1$ si la carta $i$ aterriza en el sobre correcto y deja que tome valor $0$ de lo contrario.

Entonces: $$X=\sum_{i=1}^9X_i$$

Con la linealidad de la expectativa y la simetría encontramos: $$\mathsf EX=\sum_{i=1}^9\mathsf EX_i=9\mathsf EX_1$$

¿Puedes encontrar $\mathsf EX_1$ ¿tú mismo?

Además en base a la bilinealidad de la covarianza y la simetría encontramos: $$\mathsf{Var}(X)=\mathsf{Cov}(X,X)=\sum_{i=1}^9\sum_{j=1}^9\mathsf{Cov}(X_i,X_j)=9\mathsf{Cov}(X_1,X_1)+72\mathsf{Cov}(X_1,X_2)$$

¿Puedes encontrar $\mathsf{Cov}(X_1,X_1)=\mathsf{Var}(X_1)$ y $\mathsf{Cov}(X_1,X_2)$ ¿tú mismo?

Answer 2

Para construir una permutación que fije $k$ hay que elegir primero estos elementos $k$ elementos: $${9\choose k }\text{ options}$$ Entonces tienes que elegir un derangement de los restantes $9-k$ : $$!(9-k)\text{ options}$$

Por lo tanto, el valor esperado es $$E=\sum_\limits{k=0}^9k\times\dfrac{ !(9-k)\times {9\choose k }}{9!}$$ y la varianza $$\left(\sum_\limits{k=0}^9k^2\times\dfrac{ !(9-k)\times {9\choose k }}{9!}\right)-E^2$$