Lo que podría causar un asimétrico de la órbita en un simétrica potencial?

Question

Mi pregunta se puede resumir así:

Dado un potencial con simetría (por ejemplo,$z\rightarrow-z$), debo esperar órbitas en las que el potencial de exposición a los mismos de simetría? Abajo está la motivación total para esta pregunta.

Hace un tiempo me encontré con una interesante órbita (o más bien de la clase de órbitas) que no es simétrica con respecto al $z=0$ plano en un potencial con simetría axial (eje a lo largo de $z$) así como la simetría con respecto a la reflexión a lo largo de la $z=0$ plano. Ingenuamente, yo esperaría que la simetría con el potencial de ser se refleja en la simetría de las órbitas, y este es el caso en todos los libros de texto de ejemplo que he visto, aunque es cierto que no he hecho una búsqueda exhaustiva a través de todas las de la mecánica clásica de los textos.

El potencial efectivo es:

$$\Phi_{\text{eff}} = \frac{1}{2}v_0^2\ln\left(R^2+\frac{z^2}{q^2}\right)+\frac{L^2}{2R^2}$$

Se dibuja de la Dinámica Galáctica 2ed eq. 3.70 (véase también la fig. 3.3), y es un modelo crudo de la posibilidad de que un esferoidal achatada galaxy con circular constante de velocidad de $v_0$. El parámetro $q$ controles de el eje de la relación, básicamente como "aplastado" el esferoide. Para los ejemplos que muestro a continuación es fijo a $q=0.7$.

El azimutal movimiento de la partícula es esencialmente ignorada, ya que una prueba de la partícula en el este potencial sólo va alrededor de la $z$ eje angular constante impulso, esto es fácil de hacer. El potencial efectivo aún representa el momento angular debido a este movimiento, por supuesto. Por "después de la partícula" en la dirección azimutal, el movimiento puede ser descrito como una trayectoria en el $R-z$ plano. En general, el movimiento de una partícula (es decir, negativo total de energía) se espera que para ser confinado a una región, en este plano, la forma de la que depende de la $L_z$ $E$ de la órbita. Regiones típicas apariencia de la parte superior de dos paneles de aquí:

La parte inferior derecha del panel es también un típico órbita, pero llena en su "caja" muy lentamente, por lo que se ve un poco peculiar, aquí.

La parte inferior izquierda del panel es la extraña órbita de la que estoy interesado. Observe que se llena en una región bien definida que no es simétrico con respecto al $z=0$. ¿Qué está pasando aquí? ¿Por qué no la región simétrico con respecto al $z=0$ mi intuición sugiere que debería ser? Los parámetros orbitales $(E,L_z)$ se dan por encima de la trama. Una forma equivalente de expresar los parámetros orbitales es en términos de las condiciones iniciales. Ejemplo de condiciones iniciales que dan una órbita cualitativamente similar a la de la parcela:

$$R_0 = 0.3; z_0=0.1; \dot{R}_0 = 0; \dot{z}_0 = 0$$

Nota a pie de página con respecto a los números: Órbitas se calcula utilizando la RK4 algoritmo con un paso de tiempo de $0.002$. He jugado un poco con los parámetros (paso de tiempo, condiciones iniciales, diferentes integradores, etc.) para estar razonablemente seguros de que esto no es un numerics problema. Además, uno de mis colegas independiente ha calculado que el mismo tipo de órbita, la única cosa que yo siempre era la expresión para el potencial y el ICs. Por supuesto que pueden estar haciendo algo mal, pero la probabilidad de que es mucho más baja de sólo para mí tener jodido...

Answer 1

Un simple ejemplo es el de Kepler las leyes del movimiento planetario. En un esféricamente simétrico de un campo gravitacional, los planetas siguen órbitas elípticas. Las órbitas ciertamente no tiene la completa simetría esférica de la potencial. Pueden ser extremadamente desequilibrada. :-D

Answer 2

La simetría de potencial por sí sola no es suficiente para garantizar un simétrica órbita. Las condiciones iniciales y de contorno también debe ser simétrica. También, para los no-lineal de los sistemas numéricos, el tratamiento tiene que ser lo suficientemente precisa.

Answer 3

En la posibilidad de que hubiera alguna duda acerca de los valores numéricos, yo también escribí un código de seguimiento de estas órbitas. Yo uso RK4 para tomar la primera mitad del paso de tiempo (un paso de tiempo completo aquí siempre es $0.001$) y, a continuación, realizar el resto de integración a través de leapfrog.

A continuación se presenta la evolución de una relación asimétrica de órbita. El potencial está dado por $v_0 = 0.9$, $q = 0.7$, $L = 0.05$. I establecer las condiciones iniciales para ser $R_0 = 0.3$, $z_0 = 0.1$, $\dot{R}_0 = \dot{z}_0 = 0$, correspondiente a una energía total de $E \approx -0.879$. La animación muestra la órbita hasta el momento de $t = 360$. (Los puntos negros muestran la posición en la última décima parte de un marco.)

La órbita de no dejar que seleccionar la tira en el $(R,z)$-plano, incluso después de muy largo integraciones. Lo que me parece especialmente sugerente en este terreno es el color de fondo. La zona azul es que para que $\Phi_\mathrm{eff} < E$. Claramente la dinámica está restringido a un pequeño subconjunto de la kinematically espacio accesible, pero, por supuesto, sabíamos que esto tenía que ser el caso debido a que el potencial no es asimétrica.

Considere ahora un simétrica órbita, se muestra a continuación para $t < 100$. Esto es en el mismo potencial y que tiene el mismo $z$-condiciones iniciales, pero ha $R_0 = 0.1$, $\dot{R}_0 = 0.90678050587096637$. Esta elección fuerzas de $E$ a ser el mismo que en el último caso.

Aquí el potencial y el sombreado es particularmente revelador. Incluso en este "buen comportamiento" no estamos explorando el potencial bien kinematically accesible. Dicho de otra manera, hay lugares de partida $(R_0,z_0)$ tal que para cualquier velocidad inicial $(\dot{R}_0,\dot{z}_0)$ consistente con el fijo $E$, no resultando órbita completa de la misma región de la $(R,z)$-plano.

Al principio parecía un poco extraño para mí que dos diferentes condiciones iniciales podrían llenar dos distintos, pero sin embargo, la superposición de las regiones del plano. Pero entonces me acordé de que esta es realmente una de 4D el espacio de fase $(R,z,\dot{R},\dot{z})$. Dada una ubicación inicial en el espacio de fase, la órbita presumiblemente llenar algunos región, y no hay dos regiones distintas se puede formar una intersección. Es sólo que las proyecciones de estas regiones en $(R,z)$ que puede cortar. Incluso desde el simétrica caso está claro que no debe ser más de una región, ya que la órbita no llenar todo el potencial.

La imagen que tengo en mi mente, entonces es de varios discontinuo regiones del espacio de fases, cada una correspondiente a una familia de condiciones iniciales (de forma equivalente, la colección de todas las condiciones encontradas para una determinada órbita). No hay simetría en el diseño de estas regiones, pero no todos los proyectos para simétrica regiones en $(R,z)$. Más bien, algunos vienen en pares relacionados a través de las reflexiones sobre la $z = 0$. Esto no es demasiado sorprendente en sí y de por sí me siento.

Lo que es más intrigante que conjugar pares de regiones en el espacio de fase es que en algunas regiones son su propia reflexión-en-el-plano medio del conjugado. Que es, como varía las condiciones iniciales de un singleton región (simétrica de los casos) a uno de un par asimétrica (caso), debe haber una bifurcación de las clases.

Para investigar esto, he seguido en sus superficies de sección de la idea mencionada en el chat. Dadas las condiciones iniciales, he evolucionado el sistema de a $t = 100$. Entonces me di cuenta que los valores de $R$, $\dot{R}$, y $\dot{z}$ cada vez que el $z = 0$ avión fue cruzado. A continuación es una película que muestra los cruces en la $(R,\dot{R})$ plano, de color por el signo de $\dot{z}$ (azul para el positivo, rojo para el negativo).

En primer cruces en ambas direcciones ocupan el mismo 1D curva en el espacio. Sin embargo, como las condiciones iniciales son linealmente cambiado desde la simétricos dado anteriormente a la asimétrica, algunas cosas interesantes que suceda. Una bifurcación se produce en el conjunto de puntos, donde dos nuevas ramas aparecen, que se muestra en el marco de abajo. Una nueva rama se compone sólo de puntos azules, el otro de rojo. Muy rápidamente la curva original pellizcos, dejando todos los cruces hacia arriba en su propia 1D bucle y todos los cruces a la baja en el otro.

Este sistema de transición con bastante rapidez (lo que significa). Otros caminos a través de la condición inicial de espacio me han dado las parcelas que parece vacilar entre el pre - y post-bifurcación antes de establecerse en el nuevo patrón.

También vale la pena mencionar que, dado que la proyección en $(R,\dot{R})$ conduce a una sección 1D, y dado que la elección de $z = 0$, $R$, y $\dot{R}$ determinar $\dot{z}$ hasta un signo de simples consideraciones energéticas, la proyección de la órbita en el 3D $z = 0$ parte del espacio de fase es 1D.

No estoy seguro de cuánto me has contestado a la pregunta tanto como hizo algunas observaciones, pero en resumen:

• El kinematically accesible el espacio de fase se divide en dinámicamente no equivalentes de las regiones, de las cuales no todas se proyecte hacia simétrica parches de la posición del espacio, incluso, dada la simetría de la potencial.
• Asimétrica de las condiciones iniciales puede seleccionar una relación asimétrica de parche.
• Debe haber cambios cualitativos en el comportamiento del sistema a nivel de las bifurcaciones que separa de forma simétrica-proyectar y asimétrica-la proyección de las regiones del espacio de fase.