Preguntas sobre la continuidad de la función $f(x+y)= f(x)+f(y)$ para cada $x,y \in \Bbb{R}$ .

Question

$f: \Bbb{R}\rightarrow\Bbb{R}$ es continua en cero, s.t $f(x+y)= f(x)+f(y)$ para cada $x,y \in \Bbb{R}$ .

A. calcular $f(0)$ y demostrar que $f(-x)=-f(x)$

B. demostrar que $f$ es continua en $\Bbb{R}$

para A, llegué a que el límite cuando $x$ se hace cero debe ser igual al valor $f(0)$ por la definición de continuidad, lo que significa que $x+y$ debe ir a cero, y así x puede ir a $-y$ que es lo mismo, entonces pongo $-y$ en la función y ver qué valor obtengo, al final tengo:

$\lim \limits_{x \to -y}$$ f(x+y) = f(-y)+f(y)$.

y sé por la información que tengo sobre la función $f(x+y)= f(x)+f(y)$ que $f(y)+f(-y) = f(0)$ pero no sé cómo continuar desde aquí. y no tengo ninguna dirección para B. cualquier tipo de ayuda sería apreciada.

Answer 1

$f(0)=0$ se muestra como indica @user109899.

Para B): $$\lim_{y\to 0}f(x+y)=\lim_{y\to 0}f(x)+\lim_{y\to 0}f(y)=f(x)+f(0)=f(x) $$ por la hipótesis de continuidad en $0$ y el punto A.

Answer 2

Si $y=0$ obtenemos $$f(x)=f(x)+f(0)\quad\Longrightarrow\quad f(0)=0$$ Si $y=-x$ obtenemos $$0=f(0)=f(x)+f(-x)\quad\Longrightarrow\quad -f(x)=f(-x)$$

Ahora bien, como $f$ es continua en $x=0$ sabemos que $$\forall \epsilon>0\quad\exists\delta>0\quad \text{such that}\quad |x|<\delta \quad\Longrightarrow\quad|f(x)|<\epsilon$$ En particular, fijar cualquier $x\in\mathbb{R}$ , ahora para todos $y\in \mathbb R$ tenemos $$|y-x|<\delta \quad\Longrightarrow\quad|f(y)-f(x)|=|f(y-x)|<\epsilon$$ Así, $f$ es continua en $x$ .

Answer 3

Si $f$ está acotado localmente y $f(x+y)=f(x)+f(y)$ entonces $f(n x)=n\,f(x)$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$ Así que $$|f(x/n)|=\frac{1}{n}|f(x)|$$ da que $f(0)=0$ y $f$ es continua en cero. De $0=f(0)=f(x)+f(-x)$ conseguimos que $f$ es una función impar, y de $|f(x+y)-f(x)|=|f(y)|$ conseguimos que $f$ es continua en todas partes, considerando $y\to 0$ . En la misma línea, podemos demostrar que si $f$ está acotado localmente y $f(x+y)=f(x)+f(y)$ entonces $f(x)=\alpha x$ para algunos $\alpha\in\mathbb{R}$ .