Si $\sin(x)=\sin(\pi/4 + x)$ Entonces, ¿por qué no es $x=x+\pi/4$ ?

Question

He estado resolviendo una pregunta,

Si $\cos(x) + \sin(x)=\sqrt{2} \cos(\pi/2 - x)$ entonces encuentre el valor de $x$ .

Sabemos que $\cos(x) + \sin(x)= \sqrt{2} \sin(\pi/4 + x)$ . Así que, $$\sin(\pi/4 + x) = \cos(\pi/2 - x)$$ Pero $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$ , por lo que debemos tener $$\sin(\pi/4 + x)=\sin(x).$$ Ahora bien, si cambio $\sin(x)$ a $\sin(\pi - x)$ entonces vendrá la respuesta correcta, es decir $$\sin(\pi/4 + x)=\sin(\pi - x) \implies \pi/4 + x = \pi -x \implies x=3\pi/8.$$ Pero, ¿por qué $\pi/4 + x=x$ no es cierto. Mi libro dice que si $\sin(x)=\sin(y)$ entonces $ x = (-1)^ny + n\pi $ . Si pongo $n=0$ entonces $x=y$ pero esto no es cierto en mi caso. ¿Por qué?

También busqué en el artículo pertinente de Wikipedia pero no pudo entender por qué estas fórmulas son verdaderas para cualquier valor de $\theta$ que puede ser más que $\pi/2$ y menos de $0$ .

Answer 1

Mi libro dice que si $\sin(x)=\sin(y)$ entonces $ x = (-1)^ny + n\pi $ .

Sí, eso significa que si $\sin(x)=\sin(y)$ Entonces, hay existe algunos $n$ tal que $ x = (-1)^ny + n\pi $ No es que se pueda elegir cuál $n$ o que la afirmación es verdadera para cada $n$ . Por ejemplo, $$\sin(0)=0=\sin(7\pi)$$ y de hecho lo tenemos $0=(-1)^{n}\pi+n\pi$ para $n=7$ pero eso es lo único $n$ que funciona.

En general, debe saber que la mayoría de las funciones no tienen la propiedad de que $f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2$ . Echa un vistazo a la página de Wikipedia sobre funciones inyectivas .

Answer 2

Mira, si $\sin \theta =0,$ entonces $\theta=n\pi, \forall n \in \Bbb Z$ . Del mismo modo, si $\cos\theta=0$ entonces $\theta=\frac {(2n+1)\pi}{2}, \forall n \in \Bbb Z$ .

Ahora, si $\sin x=\sin y$ entonces $\sin x - \sin y=0$ $\Rightarrow$ $2\cos(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})=0$ $\Rightarrow$ $\cos(\frac{x+y}{2})=0$ o $\sin(\frac{x-y}{2})=0$ .

Si $\cos(\frac{x+y}{2})=0$ entonces $\frac {x+y}{2}=\frac {(2n+1)\pi}{2}, \forall n \in \Bbb Z$ $\Rightarrow$ $x=(2n+1)\pi-y, \forall n \in \Bbb Z$ . Si $\sin(\frac{x-y}{2})=0$ entonces $\frac {x-y}{2}=n\pi, \forall n \in \Bbb Z$ $\Rightarrow$ $x=2n\pi + y, \forall n\in \Bbb Z$ .

Combinando estos dos resultados, vemos que $x=(-1)^{n}y+n\pi, \forall n \in \Bbb Z. $