Conjuntos cerrados en espacios ordinales

Question

Estoy tratando con intersecciones de conjuntos cerrados en espacios ordinales y necesito ayuda. Si $\kappa$ es un número cardinal y $\{C_\alpha\}_{\alpha<\beta}$ son conjuntos cerrados en $[0,\kappa[$ de cardinalidad $\kappa$ ¿Qué pasa con $\bigcap_{\alpha<\beta} C_\alpha$ si $\beta\geq cf(\kappa)$ ?

¿Cuál es el supremum de los cardenales $\beta < \kappa$ tal que $\bigcap_{\alpha<\beta} C_\alpha \neq \emptyset$ si $cf(\kappa)=\omega$ ?

Gracias de antemano

Answer 1

Para responder a su segunda pregunta, $\beta$ es 1: cualquier ordinal de cofinalidad $\omega$ tiene dos conjuntos de palos disjuntos. (Tome una secuencia cofinal $\alpha_i$ con $\alpha_0=0$ y que $A=\{\gamma: \exists i(\alpha_{2i}<\gamma\le\alpha_{2i+1})\}$ y $B=\{\gamma: \exists i(\alpha_{2i+1}<\gamma\le\alpha_{2i})\}$ .

En general, esto demuestra que -si definimos $B(\kappa)$ para ser el sup de todos $\beta$ tal que la intersección de $\beta$ -muchos subconjuntos cerrados de $\kappa$ , cada una de ellas de cardinalidad $\kappa$ es no vacía - siempre tenemos $B(\kappa)\le cf(\kappa)$ . Y, por supuesto, a menos que $cf(\kappa)=\omega$ - $B(\kappa)\ge cf(\kappa)$ y así $B(\kappa)=cf(\kappa)$ . Esto significa que la respuesta a su primera pregunta es: "Tal intersección puede estar vacía".