Dejemos que $L/K$ sea una extensión finita y que $\alpha \in L$ para que $[K(\alpha):K]=2011$ . Demostrar que $K(\alpha)=K(\alpha^6)$ .
Mi idea es la siguiente:
$K \subset K(\alpha^6) \subset K(\alpha)$ Por lo tanto $[K(\alpha):K] = [K(\alpha):K(\alpha^6)][K(\alpha^6):K]$ . Tenemos dos opciones:
Primero, $[K(\alpha):K(\alpha^6)] =2011$ y $[K(\alpha^6):K] =1$ . En ese caso , $K(\alpha^6)=K $ y $\alpha^6 \in K$ . El polinomio $f(x)=x^6-\alpha^6 \in K[X]$ tiene la raíz $\alpha$ lo que no es posible ya que $deg(irr(\alpha,K)=2011$ . (*)
Estamos con $[K(\alpha):K(\alpha^6)] =1$ así que $K(\alpha)=K(\alpha^6)$ .
No estoy muy seguro de la parte (*), ¿es correcta?
Gracias.
