$\mathbb Q[\cos(\frac{2\pi}{75})]$ es una extensión de Galois sobre $\mathbb Q$ .

Question

a) Demostrar que $\mathbb Q[\cos(\frac{2\pi}{75})]$ es una extensión de Galois sobre $\mathbb Q$ .

b) Describe el grupo de Galois para esta extensión

En primer lugar, se observa que $\cos(\frac{2\pi}{75}) = \frac{e^{\frac{2\pi i}{75}}+e^{-\frac{2\pi i}{75}}}{2}$ . Así, $\mathbb Q[\cos(\frac{2\pi}{75})] \subset \mathbb Q[e^{\frac{2\pi i}{75}}]$ .

$\mathbb Q[e^{\frac{2\pi i}{75}}]$ es claramente una extensión de Galois con $Gal = \mathbb (Z_{75})^* = \mathbb Z_{5} \times \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_2$ .

$Gal$ es abeliano y, por tanto, cada subgrupo es normal. Así que podemos concluir que $\mathbb Q[\cos(\frac{2\pi}{75})]$ también es una extensión de Galois.

Así que ahora necesito entender qué subgrupo de $\mathbb Z_{5} \times \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_2$ es un grupo de Galois para $\mathbb Q[\cos(\frac{2\pi}{75})]$ .

Gracias.

Editar: Grupo de Galois correcto calculado para $\mathbb Q[e^{\frac{2\pi i}{75}}]$ según las reuniones y el Señor Tiburón el Desconocido.

Answer 1

El polinomio mínimo de $\cos(\dfrac{2\pi}{75})$ es de grado $20$ y una forma de explicitarlo de forma más corta que el polinomio de grado $20$ es $$W(Z)=16Z^4-8Z^3-16Z^2+8Z+1\text{ where }\space Z(x)=16x^5-20x^3+5x$$ ( Verificación numérica : $\space\space \space Z(\cos(\dfrac{2\pi}{75}))\approx0.913545457643\\\space \space W(0.913545457643)\approx4.0003556023\cdot10^{-12}\approx 0)$

De ello se desprende que $G$ es un grupo finito de orden $20=2^2\cdot5$ así que tenemos la serie $$G\triangleright H \triangleright \{e\}$$ donde $H$ es el único $5$ -Silow subgrupo de $G$ (que es normal) y los correspondientes grupos cocientes son $G/H$ de orden $4$ y $H/\{e\}$ de orden $5$ entonces ambos son cíclicos.