Supongamos que $f(x) \in C^1$ para un $x \in [a, x]$ . Entonces se define una regularización de la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville como:
$ \frac{1}{\Gamma(1-b)} \frac{d}{dx} \int_{a}^{x}\left( \mathrm{f}\left( t\right) -\mathrm{f}\left( a\right) \right) \,\left( \frac{d}{d\,t}\,\left( -\frac{{\left( x-t\right) }^{1-b}}{1-b}\right) \right) dt $
suponiendo que $0<b \leq 1$ .
¿Es esta definición equivalente a la de Caputo? $ \frac{1}{\Gamma(1-b)} \int_{a}^{x}\frac{ \mathrm{f^\prime}\left( t\right) }{{\left( x-t\right) }^{b}}dt $
(Como se sugiere ) aquí está el cálculo: El primer paso es integrar por partes:
$ I= \frac{\int_{a}^{x}\left( \frac{d}{d\,t}\,\left( \mathrm{f}\left( t\right) -\mathrm{f}\left( a\right) \right) \right) \,{\left( x-t\right) }^{1-b}dt}{1-b} - \left. \frac{\left( \mathrm{f}\left( t\right) -\mathrm{f}\left( a\right) \right) \,{\left( x-t\right) }^{1-b}}{1-b}\right|_{t=x} +\left. \frac{\left( \mathrm{f}\left( t\right) -\mathrm{f}\left( a\right) \right) \,{\left( x-t\right) }^{1-b}}{1-b}\right|_{t=a} $ .
Desde $0<b \leq 1$ el segundo término desaparece. El tercer término también desaparece. Entonces nos queda:
$ I = \frac{\int_{a}^{x}\left( \frac{d}{d\,t}\,\mathrm{f}\left( t\right) \right) \,{\left( x-t\right) }^{1-b}dt}{1-b} $
Por último, la diferenciación da
$ \frac{d}{d\,x}\,I = \int_{a}^{x}\frac{ \mathrm{f^{\prime}}\left( t\right) }{{\left( x-t\right) }^{b}}dt $ .
Así que aplicando también el factor se obtiene la definición de Caputo.
