¿Existe una fórmula matemática para la función del cuadrado más cercano?

Question

Dejemos que $x$ sea un número entero positivo.

¿Existe una fórmula matemática para $$f(x)=\text{nearest square to } x \text{ }(\text{in terms of } x)?$$

Intenté buscar preguntas relacionadas en MSE y encontré esto un pero mi consulta no está contemplada allí.

También he intentado buscar a través de Google y he encontrado esta pregunta estrechamente relacionada en StackOverflow .

He utilizado la cadena de búsqueda " función del cuadrado más cercano ".

Answer 1

En virtud de la respuesta aceptada en su pregunta vinculada, puede tomar la función del entero más cercano de $\sqrt x$ y cuadrarlo. Sin embargo, puede no ser obvio (o aparentemente demasiado obvio para ser verdad) así que aquí hay más detalles:

La función de número entero más cercano (para $x \notin \{k+\frac12| k \in \mathbb Z\}$ para evitar ambigüedades) es igual a $\left\lfloor x + \frac12\right\rfloor$ . Afortunadamente para la raíz cuadrada, nunca es un entero más la mitad. Por lo tanto, también podemos escribir

$$f(x) = \left\lfloor \sqrt x + \frac12\right\rfloor^2$$

Para demostrar que esta fórmula funciona, consideramos los casos (donde $n \in \mathbb N \cup \{0\}$ ):

Caso 1: $n^2 \le x \le n^2+n < (n+\frac12)^2$

Caso 2: $(n+\frac12)^2< n^2+n+1 \le x < (n+1)^2$

y vemos que ambos casos funcionan perfectamente, dado que $x$ es un número entero positivo.