Encuentre el siguiente límite para una función convexa suave $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}^{\geq0}$ tal que $f(1)=1$ y $f'(0)=f(0)=0$ $$\lim_{x\to0^{+}}\frac{f'(f^{-1}(x)a)}{f'(f^{-1}(x))}=L.$$ Es $L$ igual a $\frac{f(a)}{a}?$
Respuesta
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Contraejemplo. Para $p\in (0,1)$ la función $$ f_p:[0,\infty)\to [0,\infty),\ f_p(x)=(1-p)x^2+px^3 $$ satisface todas las condiciones, sin embargo para cada $a>0$ tenemos $$ \lim_{x \to0}\frac{f_p'(ax)}{f_p'(x)}=\lim_{x \to 0}\frac{2a(1-p)+3a^2px^2}{2(1-p)x+3px^2}=a\ne (1-p)a+pa^2=\frac{f_p(a)}{a}. $$ Reclamación: Dejemos que $f:[0,\infty) \to [0,\infty)$ sea una función suave no nula tal que $$ f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(n-1)}(0)=0\ne f^{(n)}(0). $$ Entonces $$ \lim_{x \to 0+}\frac{f'(ax)}{f'(x)}=a^{n-1}, $$
Prueba. Para $\varepsilon>0$ lo suficientemente pequeño, tenemos $$ f(x)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)=:c_nx^n+o(x^n) \quad \forall x \in (0,\varepsilon]. $$ Por lo tanto, para cada $x \in (0,\varepsilon]$ tenemos $$ \frac{f'(ax)}{f'(x)}=\frac{nc_na^{n-1}x^{n-1}+o(x^{n-1})}{nc_nx^{n-1}+o(x^{n-1})}=\frac{a^{n-1}+o(1)}{1+o(1)}. $$ Por lo tanto, $$ \lim_{x \to 0+}\frac{f'(ax)}{f'(x)}=a^{n-1}. $$ Observación: Si $f(x)=x^n$ con $n\ge 2$ un número entero, entonces de hecho $$ \frac{f(a)}{a}=a^{n-1} \quad \forall a>0. $$
