Bijección entre un conjunto infinito y su unión de un conjunto contablemente infinito

Question

Tengo $A$ como un conjunto infinito y $S$ como un conjunto contablemente infinito, (lo que significa que existe una correspondencia uno a uno entre $S$ y $\mathbb{N}$ ).

¿Cómo puedo demostrar que siempre existe una biyección entre $A$ y $A\cup S$ ? ¿Puede hacerse demostrando que existe una biyección desde $A$ a $S$ o de $A$ a sí mismo? Estoy perdido en esto.

Ah, y puede ser posible que no haya una biyección si es entre $S$ y $A\cup S$ ? ¿Qué tal un mapa que mapee $\mathbb{N}\to \mathbb{N}\cup\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Tome una secuencia contablemente infinita de $A$ que incluye $S\cap A$ , denotado por $(a_n)_{n\geq 1}$ . Y también denota $S\cup \{a_n, n = 1,2,\cdots\} = \{b_n, n = 1,2,\cdots\}$ ya que la unión de dos conjuntos contables sigue siendo contable.

Entonces una biyección explícita entre $A$ y $A\cup S$ es la siguiente $f$ :

$f(x) = x$ si $x \not\in \{a_n, n = 1,2,\cdots\}$ , $f(a_{k}) = b_k$

Está claro que es una sobreproyección. El hecho de que sea una inyección está implícito en la forma en que elegimos $(a_n)_{n\geq 1}$ .

No puede haber una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}\cup \mathbb{R}$

Answer 2

Dejemos que $S=\{s_n\}_{n\in\mathbb N}$ . Como $A$ es infinito, entonces tiene un subconjunto infinito contable $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ .

Defina ahora la siguiente proyección $f:A\to A\cup S$ :

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{llll} x & \text{if} & x\in A\smallsetminus \{a_n\}_{n\in\mathbb N},\\ a_{n} & \text{if} & x=a_{2n-1},\\ s_{n} & \text{if} & x=a_{2n}. \end{array} \right. $$

No existe una biyección entre $\mathbb N$ y $\mathbb R\cup\mathbb N$ ya que no existe una biyección entre $\mathbb N$ y $(0,1)$ . Esto se hace utilizando un argumento diagonal estándar (de Cantor).