La pregunta:
Dejemos que $f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una secuencia de funciones que $f_{n} (x) = \exp[-nx^2]$ . Determine si esta secuencia converge uniformemente o no.
El intento:
Hice algunos dibujos de estos tipos de funciones y estoy afirmando que la secuencia de funciones no convergen uniformemente. Estoy provisto de que esta secuencia converge puntualmente a $0$ si $x \neq 0$ y a $1$ si $x = 0$ . Estoy utilizando el $\epsilon-N$ definición de convergencia uniforme.
Veamos el caso cuando $x \neq 0$ (Este es mi trabajo en scratch). Elegimos $\epsilon = 1/2$ . Entonces, para todos los $N \geq 1$ necesitamos encontrar un $n \geq N$ y un $x \in \mathbb{R}$ , de tal manera que $| \exp[-nx^2]| \geq \frac{1}{2}$ . Como la función es positiva, necesitamos encontrar un $n$ y un $x$ tal que $\exp[-nx^2] \geq \frac{1}{2}$ . El problema que tengo es el álgebra. ¿Estoy en el camino o no?
Gracias por los comentarios.
