Encontrar subgrupos de $S_5$ con órdenes específicas

Question

Quiero verificar si existen subgrupos de $S_5$ de orden $15,20,40$ . pero no sé cómo enfocarlo. en general, ¿cómo se prueba cuando se pide encontrar un subgrupo con orden específico de un grupo finito? ¿alguna forma buena/eficiente que no sea la de forzar con generadores aleatorios?

Answer 1

Si es sólo para la verificación y no para el examen/tarea, entonces también puede verificar utilizando el ordenador. Puede ejecutar lo siguiente GAP código:

G := SymmetricGroup( 5 );
List( AllSubgroups( G ), i -> Order( i ) );

Después de esto, usted puede visualmente verificar Si hay algún subgrupo de orden 15, 20 y 40.

Para obtener los subgrupos reales (de orden 20 en tu caso), puedes utilizar

Filtered( l, i -> Order( i ) = 20 )

Espero que esto ayude.

-- Mike

Answer 2

$S_5$ no tiene ningún subgrupo de orden $40$ , ver este duplicado para los argumentos. Lo mismo ocurre con el orden $15$ . Para un subgrupo de orden $20$ podemos tomar un elemento de orden $5$ que existe por Cauchy, es decir, a $5$ -ciclo $(12345)$ y un $4$ -ciclo $(2354)$ para obtener un subgrupo de orden $20$ . Aquí el $4$ -normaliza el subgrupo generado por $(12345)$ . De hecho, el normalizador $N(P)$ de una orden $5$ subgrupo $P$ de $S_5$ tiene $20$ elementos.