Pregunta de probabilidad y secuencia aritmética

Question

Se eligen tres números al azar entre $1,2,...2n$ con $n > 1$ . Demuestre que la probabilidad de que los números estén en A.P. es $\frac{3}{4n-2}$

No sé cómo afrontar esto. Por favor, ayuda.

Answer 1

El número total de $3$ -combinaciones de números de $1$ a $2n$ es $\binom{2n}{3}$ . Ahora considere $1$ como el primer número tomado. Entonces, el $3$ -el número A.P. con la mayor diferencia común se producirá si el número elegido entonces más alto es $2n-1$ como diferencia común es $\dfrac{(2n-1)-(1)}{2}=n-1$ . Por lo tanto, la combinación de números en A.P. con mayor diferencia común y con $1$ elegido como uno de los números es $\{1,n,2n-1\}$ . Ahora empezamos a reducir nuestra diferencia común hasta que se convierta en una sola y notamos que con $1$ como el primer número elegido, hay un total de $n-1$ combinaciones de $3$ números formando un A.P. Repita el proceso para $2$ y notará que el número de combinaciones de $3$ los números que forman una A.P. es de nuevo $n-1$ . Sin embargo, para $3$ se convierte en $n-2$ . Para cualquier $k$ elegido como primer número, hay $n-1-\left\lfloor \frac{k-1}{2}\right\rfloor$ esas posibles combinaciones. Resumiendo, todo esto se traduce en $2n-2$ (ya que la última opción para $k$ es $2n-2$ para la que sólo hay una combinación A.P., a saber $\{2n-2,2n-1,2n\}$ ), se obtiene $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n-2}n-1-\left\lfloor \frac{k-1}{2}\right\rfloor=n(n-1)$ .

Entonces

\begin {align} Pr&= \frac {n(n-1)}{ \binom {2n}{3}} \\ &= \frac {n(n-1)}{ \frac {2n!}{3!(2n-3)!}} \\ &= \frac {3!n(n-1)}{2n(2n-1)(2n-2)} \\ &= \frac {3}{4n-2} \end {align}