Acerca de $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ integrable con $f \geq 0$ y $A_{t}=\{x\in [0,1]\mid t \leq f(x) \leq 2t\}$

Question

La pregunta es la siguiente:

Dejemos que $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función integrable (de Lebesgue) y no negativa. Denotamos para todo $t>0$ El conjunto:

$A_{t}=\{x\in [0,1]\mid t\leq f(x) \leq 2t\}$

Demuestra eso:

1. Obtenemos $g(t,x)\geq \chi_{A_t}(x)$ para todos $t\in \mathbb{R}$ y $x\in [0,1]$ cuando $g(t,x)={f(x) \over t} \cdot \chi_{A_t(x)}$
2. $\int_{[0,1]}f \leq \int_{[0,\infty)}{2 \over t}\biggl(\int_{A_t}f(x)dm(x)\biggl)dm(t)$ .

Nota:

Es fácil mostrar la primera pregunta.

¿Cómo mostramos la segunda?

Por supuesto, tenemos que utilizar la medida del producto.

Lo tengo. $A_t$ es medible para todos los ${t \in \mathbb{R}}$ porque ${f}$ es medible, y $A_t$ es una intersección de conjuntos medibles: $A_t=\{x\in [0,1]\mid f(x) \geq t\} \cap \{x\in [0,1]\mid f(x) \leq 2t\}$ .

¡Por favor, ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que $t \leq f(x) \leq 2t$ equivale a $f(x)/2 \leq t \leq f(x)$ . En particular, tenemos $$f(x) = 2\int_{0}^{\infty} 1_{A_t}(x)~\mathrm dt. $$ De este modo, obtenemos

\begin {align*} \int_ {[0,1]} f(x) ~ \mathrm dx &= \int_ { \mathbb {R}^2}2 \cdot\mathbb {1}_{[0,1]}(x)1_{A_{t}}(x)~ \mathrm dt ~ \mathrm dx \\ & \leq\int_ { \mathbb {R}^2}2 \cdot g(x,t)~ \mathrm dt ~ \mathrm dx \\ &= \int_ {[0, \infty )} \frac {2}{t} \left ( \int_ {A_{t}} f(x)~ \mathrm dx \right )~ \mathrm dt. \end {align*} Como $g(x,t) \geq 0$ El intercambio del orden de integración se justifica fácilmente utilizando el teorema de Fubini.