¿Cómo puede una ecuación de valor absoluto con una variable tener una respuesta tanto positiva como negativa?

Question

Pensaba que los valores absolutos son la distancia de un número a 0, que siempre es positiva. Así que tenía esta ecuación:

| 7 - y | = 12

Según los exámenes de práctica dicen esto,

Esta ecuación significa que tenemos que resolver dos ecuaciones: 7-y=12 y 7-y=-12 lo que significa y=-5,19 .

Incluso si la respuesta dentro de las barras verticales fuera negativa, ¿las barras verticales no la harían positiva, dando como resultado sólo 1 respuesta positiva?

¡Gracias por toda la ayuda que puedan aportar!

Editar

¡Ya me enteré de lo que pasó! No me di cuenta de que cuando decían que las ecuaciones podían tener tanto 12, como -12 no incluían barras de valor absoluto, así que sólo se referían a que la variable puede ser tanto positiva, como negativa.

Answer 1

No del todo.

Recordemos que $$|y| = \begin{cases}y,&\text{if } y\geq 0\\-y,&\text{if } y<0\end{cases}$$

Obsérvese que el problema pide todos los valores $y$ tal que $$|7-y| = 12.\tag 1$$ Si $y = -5$ entonces $$|7-(-5)| = |7+5| = |12| = 12.$$ Además, si $y = 19$ entonces $$|7-(19)| = |-12| = -(-12) = 12$$ utilizando la regla anterior.

Por lo tanto, los valores de $y$ que satisfacen la ecuación $(1)$ son $-5$ y $19$ .

Así que aunque $y = 19$ da $|-12|$ sigue satisfaciendo la ecuación $(1)$ ya que tomamos el valor absoluto: ya que $-12<0$ tenemos que $|-12| = -(-12) = 12.$

Answer 2

$7-y=12$ o $7-y=-12$

$y=-5$ o $y=19$

Si $y=-5$ entonces $|7-(-5)|=|12|=12$ y si $y=19$ entonces $|7-19|=|-12|=12$

Answer 3

$|7-y|=12$ significa que la distancia (como señalas, esta distancia sólo puede ser no negativa) entre 7 e y es 12. Ahora bien, en $\mathbb{R}$ (el espacio de los números reales), hay dos valores de $y$ que distan 12 unidades de 7. Una de ellas es 12 + 7 = 19, mientras que la otra es -12 + 7 = -5.

Aunque no lo has pedido en tu OP, si estamos hablando de puntos en $\mathbb{R}^2$ y consideramos que el "7" es (7,0), la ecuación corresponde a los puntos de una circunferencia centrada en (7,0) con radio 12. En este caso, habrá un número infinito de soluciones para esta ecuación.

Answer 4

Incluso si la respuesta dentro de las barras verticales fuera negativa, ¿las barras verticales no la harían positiva, dando como resultado sólo 1 respuesta positiva?

Las barras verticales están ahí para expresar una propiedad quieres que tu $y$ tener. No influyen en lo que $y$ sí lo es.

Una solución a la ecuación significa que el valor de la $y$ usted iniciar su cálculo con, antes de restándolo de $7$ y positivizar el resultado. Ambas cosas ocurren durante el cálculo que quieres que funcione, pero hacerlos no cambia el hecho de que el $y$ con la que empezaste podría haber sido $-5$ .