Medidas del producto y $\sigma-$ medidas finitas

Question

Problema similar al problema 51 del capítulo 2 de folland.

El problema real en Folland menciona que $X,Y$ no son necesariamente $\sigma-$ finito. Entonces, ¿cómo puedo utilizar el teorema de Fubini-Tonelli?

Answer 1

Cada $L^1$ desaparece fuera de un $\sigma$ -conjunto infinito $M_f$ (utilizar $\{x\mid f(x)|\geq 1/n\}$ ).

A continuación, aplicar Fubini en el conjunto $M_f \times M_g$ sólo.